Xeoloxia

XEOMETRÍA O ESPAZO
1

O ESPAZO AFÍN E3

1.1 Vectores no espazo
1.1.1

Vectores fixos

Un vector fixo a está determinado por dous puntos A e B do espazo, sendo
A a orixe e B o extremo.
- Módulo do vector fixo a é a lonxitude do segmento AB.

B
A

otación: a = Módulo de a .

D

- Dirección do vector fixo a é a da recta que pasa polos puntos A e B (ou
C
unha paralela).
-Sentido do vector fixo a é o sentido do recorrido da recta dirección desde
A a B.
- Se se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido un vector está perfectamente determinado
no espazo.
- Vector nulo é aquel para o cal coinciden a orixe e o extremo. Un vector nulo ten de módulo cero.
-Vector oposto de a é o vector de orixe B e extremo A .

1.1.2

Vectores libres

Se dous vectoresfixos teñen igual módulo, dirección e sentido dise que son
equipolentes.
A relación de equipolencia clasifica os vectores fixos do espazo en clases

[ ]

de equivalencia a , chámase vector libre do espazo a cada unha das clases

B

A

de vectores fixos do espazo que sexan equipolentes entre si.

[ ]

- Represéntase por v a un vector fixo representante da clase a (pode ser
calquera daclase).
- O vector libre nulo, o , é o representante da clase de todos os vectores fixos nulos.
- −v = oposto de v .
- Módulo de v : v (é o módulo de calquera dos seus representantes).
- A dirección é o sentido dun vector libre é a dirección e o módulo de calquera dos seus representantes.

Para un vector libre v e un punto calquera do espazo P , sempre é posíbel considerar un
representantede v con orixe en P. Ademais este representante é único.
otación: V3 = Conxunto de vectores libres do espazo.
II.1.1

Xeometría no espazo

1.2 Operacións con vectores libres
1.2.1

Suma de vectores libres

Def.-

Dados os vectores libres

e

A

u (con representante de extremos AB) defínese o vector suma de v e

u

v

v (con representante de extremos OA)
O

B

v +uu , v + u , como o vector libre de representante de extremos OB.
Propiedades:
i) Asociativa: ( v + u ) + w = v + (u + w), ∀v , u , w ∈V 3

ii) Conmutativa:

v + u = u + v, ∀ v, u ∈V 3

iii) Elemento neutro: é o vector nulo

v + o = o + v, ∀ v ∈ V

o.

3

v é − v.
v + ( − v ) = − v + v = o; ∀ v ∈ V 3

iv) Elemento oposto: o oposto de

1.2.2

Produto dun número real por unvector

Def.-

Dado o vector libre

número real

λ

defínese o vector produto

ten a mesma dirección que
sentido de
Se

v (con representante de extremos AB) e o

v

λ v como o vector libre que

v , o mesmo sentido que v se λ > 0 , o

v

− v se λ < 0 , e o módulo é λ v .

λ = 0, λ v = o .

Propiedades:
i)

λ o = o , ∀λ ∈ ℝ .

ii)

(λ + µ )v = λ v + µ v ,

iii)λ ( v + u ) = λ v + λ u , ∀λ ∈ ℝ , ∀ v , u ∈ V 3

iv) λ

( µ v ) = (λµ )v

,

v) 1 v = v , ∀ v ∈ V

∀λ , µ ∈ ℝ , ∀ v ∈ V 3

∀λ , µ ∈ ℝ , ∀ v ∈ V 3

3

II.1.2

Xeometría no espazo

1.3

Dependencia e independencia lineal de vectores
En V3 dous vectores son linealmente independentes se teñen distinta dirección.
v e u son linealmente dependentes ⇔ u = λ v
3
En V tresvectores son linealmente independentes se non son coplanarios.
v , u e w son linealmente dependentes ⇔ w = λ v + µ u , i. é un
pode expresarse como combinación lineal dos outros dous.
3
En V catro ou máis vectores sempre son linealmente dependentes.
Se v , u e w son linealmente ind. calquera outro vector pode expresarse como

{ u, v , w} forman unha base de V .
Se para a base B = { u , v , w}, z = x u + y v + z w , os números ( x , y , z )
3

combinación lineal deles. Dise que

chámanse coordenadas do vector z respecto da base B.

1.4

Espazo afín asociado ao espazo vectorial V 3
Sexa E o espazo ordinario de puntos, a cada par de puntos

( A, B) de ExE

sempre lle podemos asociar un vector de V3 (a clase do que ten de extremos
AB). Temos polo tanto definida unha...