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2.3 CUANTIFICADORES.



Las expresiones:

Todo hombre es mortal.

Algunos hombres son sabios.



Pueden traducirse respectivamente como:

Para todo x, si x es hombre entonces x esmortal.

Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.



Otros giros utilizados para la expresión "para todo x", son:

Todo x

Cualquiera x

Cada x

que se simbolizan por ""x" y se llamacuantificador universal.


Otros giros utilizados para la expresión "Existe un x" son:

Hay x

Existe x, tal que

Algún x

Algunos x



Que se simbolizan por "$x" y se llamacuantificador existencial.



Existen tres formas de convertir una función proposicional Px en una proposición a saber:

Haciendo la sustitución de las variables por un término específico.
Anteponiendola expresión "para todo x" o cuantificador universal.
Anteponiendo la expresión "existe almenos un x" o cuantificador existencial.
El enunciado "existe almenos un x tal que Px" se representa como:($x)(Px)



El enunciado "para todo x, Px" se representa como:

("x)(Px).



Al anteponer a la función proposicional Px un cuantificador, se dice que la variable x ha pasado a ser unavariable ligada.
Una proposición de la forma ("x)(Px) es verdadera cuando todas la sustituciones de la variable x por términos específicos del conjunto de referencia convierten a Px en enunciadoverdadero.
Un enunciado de la forma ($x)(Px) es verdadero cuando al menos un caso de sustitución de la variable x por un término específico del conjunto de referencia, convierte a Px en un enunciadoverdadero.
Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el enunciado: "No todos son mecánicos". En este caso la simbolización será Ø ("x)(Mx) donde Mx es la función proposicional "x esmecánico" que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los hombres.

Las palabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" corresponden también a enunciados universales con negaciones,...