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matriz traspuesta

inversa de una matriz

Matriz tranpuesta
Matriz inversa
Raúl Ures
GAL 1
IMERL

14 de marzo de 2013

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

propiedades

matriz traspuesta

matriz traspuesta
matriz traspuesta
si A ∈ Mm×n (K) matriz m × n
A = (aij ) i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n

llamamos matriz traspuesta de A
a la matriz n × mt
At = (aji ) j = i, . . . , n

i = 1, . . . , m

At ∈ Mn×m (K)

t
con aji = aij

matriz traspuesta

inversa de una matriz

matriz traspuesta

ejemplo

ejemplo
A=

1 2 3 4
5 6 7 8


1
 2
At = 
 3
4


5
6 

7 
8

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

propiedades de la matriz traspuesta

propiedades de la matriz traspuestapropiedades de la matriz traspuesta
1

(At )t = A

2

(A + B)t = At + B t

3

(αA)t = αAt

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

propiedades de la matriz traspuesta

demostración

demostración 1
A = (aij ) i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n

At

(At )t

= (aij ) j = i, . . . , n

i = 1, . . . , m

=

t
(aji ) j = i, . . . , n

i = 1, . . ., m

=

t
(aji ) i = 1, . . . , m

j = 1, . . . , n

= (aij ) i = 1, . . . , m = A
j = 1, . . . , n

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

propiedades

propiedades de la matriz traspuesta

demostración
demostración 2
A = (aij ) i = 1, . . . , m y B = (bij ) i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n

j = 1, . . . , n

A + B = (aij + bij ) i = 1, . . . , m
j= 1, . . . , n

(A +

B)t

=

t
(aji

+

t
bji ) j = i, . . . , n

i = 1, . . . , m

por otro lado

At

= (aji ) j = i, . . . , n

y B t = (bji ) j = i, . . . , n

i = 1, . . . , m

⇒

At

+

Bt

=

t
(aji

+

t
bji ) j = i, . . . , n

i = 1, . . . , m

i = 1, . . . , m

= (A +

B)t

matriz traspuesta
propiedades de la matriz traspuestademostración

demostración 3
ejercicio

inversa de una matriz

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

trasposición del producto

trasposición del producto

trasposición del producto
A ∈ Mm×k (K)
B ∈ Mk ×n (K)
⇒
(AB)t = B t At

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

propiedades

trasposición del producto

demostración
demostraciónAt = (air ) r = 1, . . . , k

A = (air ) i = 1, . . . , m

i = 1, . . . , m

r = 1, . . . , k

Bt

B = (arj ) r = 1, . . . , k

= (brj ) j = 1, . . . , n

j = 1, . . . , n

AB =

k
r =1 air brj

r = 1, . . . , k

= (cij ) = i = 1, . . . , m

i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n

(AB)t = (cij ) j = 1, . . . , n =

j = 1, . . . , n
k
r =1 air brj

i = 1, . . . , mB t At =

k
r =1 brj air

j = 1, . . . , n
i = 1, . . . , m

= (AB)t

j = 1, . . . , n
i = 1, . . . , m

matriz traspuesta

inversa de una matriz

inversa de una matriz

inversa de una matriz

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

introducción

recordar

clase pasada
definimos 3 operaciones
suma entre matrices: A + B
producto de un escalar poruna matriz: αA
producto entre matrices: AB = BA

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

introducción

elemento neutro
elemento neutro
el elemento neutro de cada una de estas operaciones es:
suma A + O = A
producto por un escalar 1A = A
producto entre matrices:


1 0 ... 0
 0 1 ... 0 


I= .
. 
.
. 
 .
.
0 0 ... 1

matriz identidadpropiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

elementos inversos

opuesto

opuesto
el opuesto de A = (aij )
es
−A = (−aij )

propiedades

matriz traspuesta

inversa de una matriz

elementos inversos

inversa respecto del producto

inversa respecto del producto
A ∈ Mn (K) matriz cuadrada n × n
llamamos inversa de A
a una matriz A−1 que cumpla:
A−1 A = AA−1 = I...