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Base Y Dimensión De Un Espacio Vectorial
La base de un espacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que se extiende sobre un espacio vectorial determinado y es linealmente independiente en el mismo. Esto es, si tenemos un espacio vectorial V y tenemos S como un subconjunto de este espacio vectorial, el cual consiste de n vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ entoncespodemos definir que este subconjunto es la base del espacio vectorial dado, si cumple las dos condiciones siguientes: 1. Este subconjunto se extiende a través del espacio vectorial dado. 2. S es subconjunto de V conteniendo los vectores de V, los cuales son linealmenteindependientes.
Con la ayuda de una ecuación lineal podemos representar tal conjunto como,

Aquí v es un vector que yace en el espacio vectorial dado y los vectores n representados como v-1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ forman parte de la base del espacio vectorial dado.
Existen numerosos ejemplos de la base de un espacio vectorial. Imagina tres dimensiones las cuales constan de dos vectores. Imagina que estosvectores no son planos. El plano definido con la ayuda de estos dos vectores sólo formará una base para los espacios tridimensionales actuales. Esto es porque si definimos una combinación lineal con la ayuda de estos dos vectores, entonces este se encontraría definitivamente dentro el plano mismo e inversamente también es posible expresar un vector dentro del plano como una combinación lineal deambos. Ahora extendamos esta definición para formar la base de la definición de la dimensión del espacio vectorial. Imaginemos que tenemos un espacio vectorial V y sea S la base de este espacio vectorial. Ahora coloquemos un número limitado de vectores en la base de espacio vectorial S, entonces definiríamos este espacio vectorial dado como un espacio vectorial de dimensión finita y la dimensión realse obtendría mediante calcular el número total de vectores en la base de ese espacio vectorial.
En caso de que tengamos un número infinito de vectores en la base del espacio vectorial dado, entonces llamaremos al espacio vectorial un espacio vectorial de dimensión infinita, y la dimensión de tal espacio vectorial es y la dimensión de un espacio vectorial nulo es el valor 0.
Puede haber más de unabase para un espacio vectorial dado. Esto significaría que es posible definir los vectores dentro de un espacio vectorial dado como la sumatoria de los vectores de ambas bases. Sea V un espacio vectorial y S la base de este espacio vectorial. Ahora definamos todos los vectores v V en términos de los elementos finitos de esta base. Definamos ahora otra base para este espacio vectorial. Ahora bien,si intentamos redefinir los elementos del espacio vectorial como una sumatoria de los elementos del segundo vector, llamamos a este proceso cambio de base. Este proceso puede ser considerado como una función identidad sobre los elementos del espacio vectorial.
Espacio Vectorial Con Producto Interno
Siempre que se utiliza el término “espacio” en un contexto matemático, se refiere a un espaciovectorial, es decir, real o n-espacio complejo, el espacio de funciones continuas en la recta, el espacio de operadores lineales adjuntos y así sucesivamente. Por lo tanto, es un hecho innegable, que este tema tiene su propia importancia en el campo de las matemáticas.
Fijaremos el espacio vectorial de una manera más amplia, con una definición que contiene todos los conceptos relacionados. Sea Fun campo y V un conjunto. Supongamos que hay una operación binaria sobre V llamada adición, la cual asigna a cada par de elementos a y b de V una suma única a + b V. Imagina también, que hay una segunda operación, llamada multiplicación escalar, que asigna a cualquier r F y a cualquier 2 V, un múltiplo escalar único ra V . Supongamos que tanto la suma como la multiplicación escalar satisfacen los...