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Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo
Estudio en los Enteros

Divisores comunes. Sean A y B dos números enteros no nulos. Si d I A y
d I B, decimos que d es un divisor común de A y B

Ejemplo Tenemos que los divisores comunes de 12 y -20 son 1, 2 y  4
Observación. Como los divisores comunes difieren solo en el signo, por ejemplo 1 y –1, 2 y –2, 4 y –4; en lo que resta delcapitulo trabajaremos solo con los divisores positivos.

Conjunto de los divisores comunes positivos. Si d I A entonces d  I A I y si d I B, entonces d  I B I, por lo tanto los divisores comunes forman un conjunto finito, teniendo un elemento mínimo: la unidad y un elemento máximo, al cual llamaremos máximo común divisor.

Definición. El máximo elemento del conjunto de los divisores comunespositivos de dos o más números enteros no nulos, recibe el nombre de máximo común divisor
Ejemplo. El conjunto de los divisores comunes positivos de 12 y –20 es {1, 2, 4} luego el MCD ( 12, -20) = 4

De manera similar se puede definir el mínimo común múltiplo. Veamos:

Múltiplos comunes. Sean A y B dos números enteros no nulos. Si A I M y
B I M, decimos que M es un múltiplo común de A yB.
Por ejemplo los múltiplos comunes de 12 y -20 son  60,  120,  180, 240,...
Al igual que el caso anterior limitaremos nuestra atención a los múltiplos comunes positivos.

Conjunto de los múltiplos comunes positivos. Este conjunto esta dado por
{MZ+ / A I M y B I M }, el cual es un conjunto no vacío ya que A B es un múltiplo de A y de B
Por otro lado se deduce que este conjuntoposee un elemento mínimo al cual llamaremos mínimo común múltiplo, pero no posee un elemento máximo.

Definición. El menor elemento del conjunto de los múltiplos comunes positivos de dos o más números enteros no nulos se denomina mínimo común múltiplo
Ejemplo. El conjunto de los múltiplos comunes positivos de 12 y –20 es
{60, 120, 180, 240,….. } luego el MCM ( 12, -20) = 60

Propiedades delMCD y del MCM de dos o más números.
1. Si A y B son dos números enteros no nulos tales que B I A, entonces
MCD (A, B ) = I B I y el MCM(A, B ) = I A I.
Ejemplo: MCD (48 , -16) = I –16 I = 16, mientras que MCM (48 , -16) = 48

2. Si se tiene dos ó más números enteros PESI, entonces el MCD de ellos es 1

Si se tienen dos o más números PESI dos a dos, entonces el MCM será elproducto de los valores absolutos de ellos.
Ejemplo: MCD ( -4, 5, 9) = 1, pero MCM(- 4,5,9) = I-4I I5I I9I = 180

3. Si dos o más números enteros no nulos se multiplican o dividen por otro entero no nulo, entonces tanto el MCD como el MCM de ellos queda multiplicado o dividido por el valor absoluto de dicho número.

Ejemplo. Sabemos que MCD ( 32, 24 ) = 8, el cual lo podemos calcular de lasiguiente manera: MCD (32, 24) = MCD (8x4, 8x3)= 8MCD ( 4, 3)= 8x1= 8
Mientras que para el MCM( 32, 24 ) hacemos:
MCM ( 32, 24) = MCM ( 8x4, 8x3) = 8 MCM (4, 3)= 8x12 = 96.

Ejemplo. Tenemos que MCD (A k, B k, C k) = MCD(A,B,C) IkI
MCD (A/ k, B/ k, C/ k) = MCD(A,B,C) / IkI
MCM (A k, B k, C k) =MCM(A,B,C) IkI
MCM (A/ k, B/ k, C/ k) = MCM(A,B,C)/ IkI

4. Todo número entero que sea divisor común de otros dos, divide también a su MCD; mientras que todo número entero que sea múltiplo común de otros dos, también lo será del MCM.
Ejemplo. Tenemos que 4 es un divisor común de 32 y 24 por lo tanto será un divisor de 8 ( donde 8 = MCD ( 32, 24 )).5. Si varios números se dividen entre el MCD de ellos, los cocientes que se obtienen son primos entre si; Mientras que si el MCM se divide entre cada uno de ellos, los cocientes que se obtienen son primos entre si.

Importancia. Esta propiedad nos indica que cada número puede expresarse en términos del MCD o del MCM de ellos
Por ejemplo si MCD ( A, B, C ) = d, tenemos I A I = dxp,...