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Fórmula de Herón
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En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, da la superficie S de un triánguloen términos de las longitudes de sus lados a, b y c:

donde p es el semiperímetro:

La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:

Demostración
Una demostración moderna, que empleaálgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Sea un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C.Entonces, por el teorema del coseno:
.
De la identidad pitagórica

se obtiene, teniendo en cuenta que en un triángulo es ::
.
La altura de un triángulo de base a tiene una longitud b sen(C). Por tanto,

Ahora se pondría el radicando como suma por diferencia=diferencia de cuadrados:

Como : será :
Se llega finalmente a:
, como se quería demostrar.
Generalizaciones
Lafórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo de la superficies de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula deBretschneider para calcular la superficie de un cuadrilátero.
Expresando la fórmula de Herón de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tresvértices dados, obtenemos:

Ninguno de los resultados puede dar 0, pues no tendría solución el problema; por ejemplo: a=10, b=20, c=30, el primero saldría bien porque es una suma, pero los siguientes(a+b-c)=(10+20-30)=0 nunca se puede dar esa situación.
Así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados.Tartaglia halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.