Yaya

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ´ 1000004 CALCULO DIFERENCIAL TALLER No. 1 1. Represente gr´ficamente cada una de las siguientes relaciones y determine su dominio y a su rango. ¿Cu´les de estas relaciones son funciones? a (a) |x| = −y. (b) x2 = y, para (x, y) ∈ [−2, 3] × [0, 7]. 2. Las siguientes igualdades definen relaciones. Para cada una deellas, ¿cu´ntas y cu´les a a funciones se pueden encontrar despejando y? Dibuje las gr´ficas de las funciones encona tradas. (a) x2 + y 2 = 4. (b) 3x + y = −1. (c) (x − 3)2 + (y + 2)2 = 3. 3. Suponga que y es una funci´n de x. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones o es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. (a) Para cada valor de x, y puede tomar varios valores. (b) Para cada valorde y, x puede tomar varios valores. (c) Cuando x crece y tambi´n crece. e 4. Encuentre el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones. (a) f (x) = (c) f (x) = 9−x , x−3 1 , x (b) f (x) = (d) f (x) = √ 6 + x − x2 , x . |x|

5. Sean f (x) = 4x2 y g(x) = (a) f (4) + g(2), (d)

x2 . Si a y h representan n´meros reales positivos, halle: u x+1 (b) f (a) + g(a), √ (e) g( a) − g(a), (c) f 1a − 1 , f (a)

g(a + h) − g(a) , h

(f) g(f (a).

6. Un acuario debe tener 50 cm de altura y 200 cm3 de volumen. Si x e y denotan el largo y el ancho de la base, (a) Exprese y como funci´n de x. o (b) Exprese la cantidad de vidrio necesaria para hacer el acuario, como funci´n de x. o

7. La escala de Richter fue desarrollada en 1935 por Charles Richter para medir la magnitud M de unterremoto. Est´ dada por a M= 2 log 3 E E0 ,

donde E es la energ´ liberada por el terremoto medida en Joules y E0 es la energ´ ıa ıa 4.40 liberada por un terremoto de leve intensidad, la cual se toma como E0 = 10 Joules. El terremoto m´s intenso registrado en Colombia ocurri´ en 1906 y liber´ una energ´ de a o o ıa 1.99 × 1017 Joules. ¿Cu´l fue su magnitud en la escala de Richter? Calcule larespuesta a con una cifra decimal. 8. La salinidad de los oc´anos se refiere a la cantidad de material disuelto que se encuentra e en una muestra de agua marina. La salinidad S se puede calcular a partir de la cantidad C de cloro en agua de mar con la ecuaci´n S = 0.03 + 1.805C, donde S y C se miden por o peso en partes por millar. Calcular C, si S es 0.35. 9. La relaci´n entre las lecturas de lastemperaturas en grados Fahrenheit (F ) y en grados o Celsius (C) est´ dada por F = 9 C + 32. a 5 (a) Encuentre la temperatura a la cual la lectura es la misma en ambas escalas. (b) ¿A qu´ temperatura la lectura en grados Fahrenheit es el doble que la lectura en e grados Celsius? 10. Cuando trazamos la gr´fica de una funci´n f en el plano cartesiano, lo que estamos a o haciendo es ubicando parejasordenadas de la forma (x, f (x)). Justifique la veracidad de las siguientes afirmaciones. (a) Las parejas ordenadas (2, 5), (3, −5) y (2, 7) pertenecen a la gr´fica de alguna a funci´n. o (b) La gr´fica de cualquier funci´n est´ formada por parejas del tipo (x, y), donde siema o a pre x = y. (c) Para (x, y), un punto en la gr´fica de alguna funci´n, se cumple que para cada valor a o y existe una unicapreimagen x. ´ 11. En cada caso dar ejemplos de relaciones que no sean funciones y de funciones que cumplan las siguientes condiciones dadas: (a) Las parejas (2, 2), (3, 3) y (4, 4) est´n en su gr´fica. e a (b) La gr´fica sea sim´trica con respecto al eje y pero no al eje x. a e 12. Determine si f es par, impar, o ninguna de las dos. √ (a) f (x) = 3 2x3 + 3x. √ (b) f (x) = 5 4x4 + 4x2 + 5. 1 13. Utilizandola gr´fica de la funci´n g(x) = y desplazamientos, ampliaciones o reflexiones, a o x encuentre la gr´fica de las siguientes funciones: a 1 + 1, x 4 (d) f (x) = , x (a) f (x) = 1 , x+1 1 (e) f (x) = , 4x (b) f (x) = 1 (c) f (x) = − , x 2 (f) f (x) = − . x

14. En cada caso halle f + g, f − g, f g y (a) f (x) =

f . g

1 x , g(x) = . x+3 x−2 (b) f (x) = |x3 − 8|, g(x) = |x − 2|.  −x − 2 si...