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Teorema de la divergencia
En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.
Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica defluidos. Desde el punto de vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes.
Enunciado.
Sean y dos subconjuntos abiertos en donde es simplemente conexo y el borde de , es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea , un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:

donde el vector normal a la superficieapunta hacia el exterior del volumen .
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse endiferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo de aplicación.

Esfera de radio 2.
Calcular el flujo del campo vectorial a través de la superficie esféricaResolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es . Entonces:

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:

Ley de Gauss.
La ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.
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Flujo delcampo eléctrico.

Flujo eléctrico a través de una superficie esférica.
El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura,que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores, cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
(1)
O sea:
(2)Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme

Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.
Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura:
El flujo ΦE puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integralen la tapa derecha:
(3)
Para la tapa izquierda, el ángulo θ, para todos los puntos, es de π, E tiene un valor constante y los vectores dS son todos paralelos.
Entonces:
(4)
siendo S = πR2el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:
(5)
Finalmente, para la superficie cilíndrica:
(6)
Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del...