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LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.

Función exponencial
La función exponencial es de la forma f ( x ) = a x , tal que a > 0 , a ≠ 1 El valor a se llama base de la función exponencial.

Propiedades: • El dominio es R. • El recorrido es ]0,+∞ ] • La función es continua en R. • f (0 ) = 1 • Si f ( x ) = f ( y ) , entonces x = y ,
• • es decir, si a x= a y , entonces x = y f ( x) ⋅ f ( y) = f (x + y) Si a > 1 la función es creciente

y = 1'5 x

Si 0 < a < 1 la función es decreciente

y = 2x

y = 0 .4 x

•

⎛ 1⎞ Las gráficas de las funciones f ( x ) = a x , g( x ) = ⎜ ⎟ son simétricas respecto del eje de ⎝a⎠ ordenadas OY y = 0 .5 x y = 2x

x

Ejercicio 1: Estudia y representa la función f ( x ) = 4 x . Es una funciónexponencial de base a = 4 El dominio es R El recorrido es ]0,+∞ ] Es una función creciente. La función es continua en R

Construimos una tabla de valores de la función:
x −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 y 0,03125 0,0625 0,125 0,25 0,5 0 0,5 1 2 1 4 1,5 2 2,5 8 16 32

Ejercicio 2: Resuelve la ecuación exponencial: 3 x −1 = 729 Intentaremos que las dos partes de la ecuación sean dos potencias de la misma base: 729= 3 6 3 x −1 = 3 6 Igualando los exponentes: x −1= 6 La solución de la ecuación es x = 7 Nota: para resolver ecuaciones donde no podamos obtener a las dos partes de la igualdad potencias de la misma base, se aplicarán logaritmos. Por ejemplo 2 x = 3 Ejercicio 3: Resuelve la ecuación exponencial: 3 2 x − 3 x +1 − 3 x = 45 Para resolver este tipo de ecuaciones utilizaremos incógnitas auxiliares:Efectuamos el cambio y = 3 x 3 x +1 = 3 x ⋅ 3 = 3 y Entonces: 3 2 x = 3 x = y 2 , La ecuación inicial se transformaría en la siguiente: y 2 − 3 y − y = 45 Resolvamos la ecuación de segundo grado: 4 ± 16 + 180 4 ± 196 4 ± 14 y= = = , y 2 − 4 y − 45 = 0 , 2 2 2 Deshacemos el cambio: y = 3 x = 9 , entonces 3 x = 3 2 , igualando exponentes, x = 2

( )

2

y = 9,

y = −5

y = 3 x = −5 , laecuación 3 x = −5 no tiene solución, la función exponencial siempre es positiva.

Ejercicios propuestos:

1. Con la ayuda de la calculadora, efectúa las siguientes operaciones: a) 21/ 3 = d) 2 −2'7 = b) 2 −2 / 5 = e) 2 3 = c) 21'3 = f) 2 − 5 =

g) 2 π = h) 2 − π = i) 2 2+ 2 =

ex 2. La calculadora tiene dos funciones exponenciales 10 x Con la ayuda de la calculadora, efectúa las siguientesoperaciones: a) 101'3 = e) 10 10 = b) 10 −3'6 = f) 10 − 3 = c) 10 5 / 4 = g) e 2'3 = d) 10 −7 / 3 = h) e −1'6 =

i) j) l)

e3 / 4 = e −5 / 3 =
2
− 5

k) e
e

=
=

3. Estudia y representa las siguientes funciones: a) f ( x ) = 2 x b) g( x ) = 3 x ⎛3⎞ c) h( x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 1⎞ e) n( x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
x

f)

⎛ 1⎞ p( x ) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

x

⎛2⎞ g) q( x ) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛2⎞ h) r( x ) = ⎜ ⎟ ⎝5⎠x

d) m( x ) = 2'5 x
x

x

4. Estudia y representa las siguientes funciones: a) f ( x ) = 10 x b) g( x ) = e x c) h( x ) = 2 ⋅ 10 x d) m( x ) = 5 ⋅ e x

e) n( x ) = −3 ⋅ 10 x f) p( x ) = −5 ⋅ e x g) q( x ) = 0'1x h) r( x ) = 100 x

5. La mayoría de las bacterias se reproducen por bipartición, es decir, una célula madre se divide en dos células hijas. Supongamos que un tipo de bacteriasnecesita 1 hora para duplicarse. Completa la tabla siguiente. Define la función y represéntala gráficamente. x(horas) 0 1 2 3 4 5 6 x Y(bacterias)

6. La presión atmosférica varia según la altura con la siguiente fórmula P( x ) = 0'9 x , donde x es la altura en kilómetros y P(x) la presión atmosférica en atmósferas. Representa la función.

7. Dada la función f ( x ) = 2 x Sin utilizar tablasde valores dibuja las funciones: g( x ) = 2 x + 3 h( x ) = 2 x − 4 m( x ) = 2 x + 2 n( x ) = 2 x −1

⎛ 1⎞ 8. Dada la función f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ Sin utilizar tablas de valores dibuja las funciones: ⎛ 1⎞ g( x ) = ⎜ ⎟ + 4 ⎝3⎠ ⎛ 1⎞ h( x ) = ⎜ ⎟ − 3 ⎝3⎠ ⎛ 1⎞ m( x ) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛ 1⎞ n( x ) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠
x+2 x x

x

x −1

9. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7 x +1 = 7 3 x + 2 b) 5 x +3 = 5 c)...