yo mi vida y acaecimientos en roma

Semejanza
Antes de empezar

Investiga jugando

¿Cómo hacer carambola a una banda?
Si has jugado al billar, sabrás que hacer carambola a una banda
significa que la bola lanzada debe dar una vez en el marco de la
mesa antes de hacer carambola. Basta aplicar la semejanza para
conseguirlo, ¿Cómo?

¿Hacia donde debemos dirigir la bola amarilla para que después
de rebotar en la banda vaya ala bola roja?

Recuerda

Antes de seguir adelante te conviene comprobar que recuerdas
algo la proporcionalidad directa y algunas propiedades básicas
de los triángulos.

MATEMÁTICAS B

91

Semejanza
1. Figuras semejantes
Las figuras semejantes son las que mediante el zoom
(homotecias) y movimientos (giros, traslaciones y
simetrías) pueden coincidir.
Un polígono está determinadopor sus lados y
ángulos, por tanto para que dos polígonos sean
semejantes basta con que los lados homólogos
sean proporcionales (con el zoom se multiplican
todos los lados por el mismo número) y sus ángulos
iguales (las homotecias, los giros, las traslaciones y
simetrías no modifican los ángulos de las figuras).

Teorema de Tales
Para que dos polígonos sean semejantes se han de
cumplirdos condiciones
1. Ángulos iguales
2. Lados proporcionales
Pero en los triángulos basta con que se de una
condición.

r

s
b”
a”

a

t
a’

b

El Teorema de Tales, demuestra que en triángulos
r, s y t paralelas =>

Ángulos iguales ⇒ Lados proporcionales

b’
a
b

=

a’
b’

=

a”
b”

El teorema afirma que si dos rectas se cortan por
paralelas, los segmentos queestas paralelas definen
en las rectas guardan la misma proporción.
También se cumple el recíproco del Teorema de Tales,
Segmentos proporcionales ⇒ paralelas.

Ĉ

Triángulos semejantes. Criterios
Dos triángulos son semejantes si cumplen alguno de
los criterios de la derecha, llamados criterios de
semejanza

a
ˆ
B

b
c
Ĉ’

a’
ˆ
B'

92

MATEMÁTICAS B

1. Ángulos iguales(con dos basta)
ˆ ˆ
 = ’ y B = B '

b’
c’

Â’

2. Un ángulo igual y los lados
que lo forman proporcionales
Â
b
c
=
 = ’ y
Mide ángulos con c '
b'
el transportador
3. Lados proporcionales
a
b
c
=
=
a' b ' c '

Semejanza
EJERCICIOS resueltos
1.

Para calcular la distancia desde la playa
a un barco se han tomado las medidas
de la figura. Calcula la distancia albarco.
x
70
70 ⋅ 140
=
⇒x=
= 1400 m
140
7
7

2.

Aplica el Teorema de Tales para calcular las medidas de x, y, z.
Calculamos x:

x 4
=
⇒ x=4
z
z

Hallamos y:

4 +y + x = 14

Como

x=4 resulta y=6

Y aplicando de nuevo el Teorema de Tales:
z
3
=
⇒z=2
4 y

3.

Observa las proporciones que se deducen del T. de Tales en la siguiente figura:
Ciertas
y⋅c = x⋅a
a−y b=
c−x d
a+b c+d
=
a
c
b a
=
d c
b y
=
d x

4.

No tienen por qué ser ciertas
y⋅a = x⋅c
a+b c +d
=
a
d
b
a=
d
b c
=
d a
b x
=
d y

Los triángulos de la figura son semejantes, halla la medida del lado x
x 10
=
⇒x=5
4
8
10
x

4

8

MATEMÁTICAS B

93

Semejanza
EJERCICIOS resueltos (continuación)
5.

Contesta razonadamente:
a) ¿Son semejantes?Sí, puesto que los lados
están en proporción 2/3 y
los ángulos son iguales.

No,
los
ángulos
son
iguales pero los lados no
son proporcionales.

No, los ángulos no son
iguales.

b) Un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 40º ¿es forzosamente semejante a
un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 110º?
Sí, pues como los ángulos de un triángulo suman 180º, se concluye que losángulos
de los dos triángulos son iguales y por el criterio 1, son semejantes.

c) Un triángulo de lados 3, 6 y 7 cm, ¿es semejante a otro cuyos lados miden 9, 36 y
49 cm?
No, pues los lados no son proporcionales.

d) Un cuadrilátero de lados 3, 4, 5 y 6 cm ¿es necesariamente semejante a otro de
lados 6, 8, 10 y 12 cm?
No, pues aunque los lados son proporcionales, en polígonos de más de...