YO MISMO E IRENE

TEORIA I

Consideremos dos series numéricas y con sumas parciales y respectivamente. Definimos la serie con sumas parciales
Realizando la transformación (Transformación de Abel):podemos concluir que
Supongamos además que es una sucesión monótona y acotada. Entonces:
Teorema de Abel:
Si se verifica que
la serie converge.
Teorema de Dirichlet:

Si se verifica quela serie converge.
Demostración:( De ambos teoremas)














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Consideremos dos series numéricas y Pon un ejemplo de dos series divergentes cuyo producto seaconvergente:
Y de series convergentes cuyo producto sea divergente:
TEORIA I
Lema:
Sea una serie de potencias convergente en b0 y divergente en d0 entonces:
a) Si entonces la Serie de Potencias
b)Si entonces la Serie de Potencias
Demostración:









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Teorema:
Dada una Serie de Potencias, sólo puede darse uno de estos tres casos:
1. Converge sólo en x=0
2. Converge paracualquier x real
3.

Demostración:
Supongamos que no se cumple (1), en ese caso la serie de potencias convergerá para algún valor b0. Supongamos que tampoco se cumple (2), con lo que la serie depotencias divergerá para algún d0. Además, se cumple que .
Si el resultado es inmediato. Supongamos, por lo tanto que .














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TEORIA I


Teorema de Taylor parados variables:
Sea un campo escalar que verifique que sus derivadas parciales de orden 2 son y sea a=(x,y) un punto de X. Sean (h,k) tales que

(x+h,y+k)Entonces:

f(x,y)=

Donde el término complementario

=

Demostración:
Denotemos al segmento que une los puntos a=(x,y) y (x+h,y+k) dado por

Y sea a la que aplicamos laregla de Taylor en x=0 para funciones de una variable, obteniendo:

Calculamos ahora los distintos sumandos de la fórmula anterior:














Y sustituyendo se obtiene el resultado...