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ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó "-"), en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son losmiembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o  conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad. 
Una ecuación puede tener  ninguna, una o varias soluciones.
Por ejemplo:
5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

2x + 3y =15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. 
Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones con unaincógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones. 
Las ecuaciones de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales. 


5x + 7 = 3  (es lineal) 

(x – 5)2 + 3 = x2 – 1 (No hay que dejarse engañar por lasapariencias, esta ecuación también es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene:  –10x + 29 = 0).

Resolución de ecuaciones
Resolver una ecuación es hallar su solución (soluciones), o podemos llegar a la conclusión que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita:4x – 7 = 1 (tenemos esta ecuación)
4x = 1 + 7 (un número que está restando "pasa" sumando)
4x = 8
x = 8:4 (un número que está multiplicando "pasa" dividiendo)
x = 2

Tiene una única solución: x = 2

Sistema de ecuaciones
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman unsistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas deecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución, compatibles.
Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16  y  4x + y = 10 se expresa así:
[pic]

La solución de este sistema es x = 3,  y = - 2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es,por tanto, un sistema compatible.


El sistema es incompatible, pues no tiene solución.


Los sistemas de ecuaciones lineales son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.


Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma:

ax + by = c ó ax + by + cz = d

Es decir, si las incógnitasaparecen sin exponentes (elevadas a 1).
Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).
Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el de igualación, el de reducción y el gráfico. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos...