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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Solucionario de la Segunda Pr´ctica de C´lculo 2
a
a
2011 - II
1. Halle el ´rea de la regi´n limitada por la par´bolay = 6 + 4x − x2 y el segmento
a
o
a
determinado por los puntos (−2, −6) y (4, 6).
(4.0 ptos.)
Soluci´n
o
Los puntos (−2, −6) y (4, 6) son parte de la par´bola.
a
Segmento de recta: y = 2x −2.
´
Area de la regi´n es:
o
4

6 + 4x − x2 − (2x − 2) dx

A=
−2

A = 36 u2
2. Calcule el volumen del s´lido cuyas secciones transversales perpendiculares al eje Y
o
son semic´
ırculosy cuyos di´metros se extienden entre las gr´ficas de las siguientes
a
a
2 + y 2 = 4 y 4x2 + y 2 = 4, para x ≥ 0.
ecuaciones x
(4.0 ptos.)
Soluci´n
o
2

El volumen del s´lido es: V =
o
−2A(y) dy, donde A(y) = 1 πr2 .
2
4 − y2 −

El di´metro de la secci´n tranversal es: 2r =
a
o
V =
V =

2

π
2

−2
2

π
16

1
4

4 − y2

1
2

4 − y 2 . luego, r =

1
44 − y2.

2

(4 − y 2 ) dy =
0

dy.
π
.
3

3. La regi´n R limitada por la gr´fica de f (x) = ax2 + b, a < 0 y los semi-ejes coordenao
a
dos positivos gira alrededor del eje X generando uns´lido S. Si el ´rea de la secci´n
o
a
o
2 y la gr´fica de f
transversal de S correspondiente a x = 2 es un c´
ırculo de ´rea 25π u
a
a
corta al eje X en x = 3, halle el volumen de S.
(4.0ptos.)
Soluci´n
o
f (3) = 0, luego 9a + b = 0.
2

π f (2)

= 25π, entonces f (2) = 5. 4a + b = 5.

Luego de resolver las ecuaciones: a = −1 y b = 9.
f (x) = 9 − x2 , x ∈ [0, 3].
3

π 9 −x2

El volumen de s´lido es: V =
o
0

V =

648 3
πu .
5

2

dx.

4. Calcule las siguientes integrales:
a)

tan5 x sec5 x dx

(2.0 ptos.)

Soluci´n
o
I=

tan4 x sec4 x tan xsec x dx
sec2 x − 1

I=

2

sec4 x tan x sec x dx

Sea t = sec x, luego dt = tan x sec x dx.
t2 − 1

I=

2

t4 dt.

2
1
1
I = t9 − t7 + t5 + c.
9
7
5
1
2
1
9
I = sec x...