Zenón
Páginas: 5 (1218 palabras)
Publicado: 19 de agosto de 2012
La «paradoja» de Zenón
LA «PARADOJA» DE ZENÓN
Juan M. Aguirregabiria (*)
En el siglo V antes de Cristo, Zenón de Elea planteó una serie de paradojas en defensa de la filosofía de su maestro Parménides, en la que el movimiento y el cambio eran pura ilusión. La más famosa de ellas puede enunciarse como sigue: «Si Aquiles quiere alcanzar a una tortuga que huye de él, deberá primero llegar adonde la tortuga se hallaba cuando Aquiles inició su marcha; pero para entonces la tortuga estará en una nueva posición, que también deberá ser alcanzada por Aquiles antes de atrapar a la tortuga. Como esto se repite una y otra vez, sin fin, Aquiles no llegará a alcanzar a la tortuga.» Al parecer, y puesto que vemos que Aquiles si alcanza a la tortuga, deberíamos concluir que el movimiento es un meroespejismo de nuestros sentidos. Como esta conclusión, cercana al solipsismo, es inaceptable para la mayoría de la gente, en los últimos 25 siglos se han propuesto distintos modos de explicar la paradoja y el tema sigue suscitando interés, como demuestra el hecho de que introduciendo las palabras inglesas «Zeno» y «paradox» en un popular buscador de Internet se obtengan más de 6000 documentos quelas contienen. Una de las refutaciones más extendidas se ha basado en negar la posibilidad de dividir indefinidamente el espacio; incluso se ha invocado la física cuántica para asegurar que hay una distancia mínima(1). Como vamos a intentar demostrar, la existencia o ausencia de una distancia física mínima es, en el fondo, irrelevante para resolver la paradoja. Lo que hay que analizar es por quése concluye la imposibilidad de que Aquiles alcance a la tortuga, ya que leyendo con cuidado el enunciado de la paradoja, se observa que en realidad se ha omitido la razón para obtener esa conclusión de las palabras precedentes. Para estudiar las distintas posibilidades de suplir esa premisa oculta vamos a considerar un ejemplo numérico particular que, aunque no resta generalidad a la discusión,permite concretarla. Supongamos que Aquiles se mueve a una velocidad constante vA = 1 m/s mientras que la tortuga es realmente rápida y alcanza la velocidad vT = 0.1 m/s Si la ventaja inicial de la tortuga es d0 = 1 m probablemente no hace falta ni haber estudiado cinemática elemental para concluir que Aquiles alcanzará a la tortuga cuando haya recorrido la distancia que ésta ha hecho más la ventajainicial: d = vAt = vTt + d0. De aquí obtenemos que ambos se hallarán en el mismo punto en el instante t = d0/(vA-vT) = 10/9 s, es decir, cuando Aquiles ha recorrido una distancia total d = 10/9 s Tal vez Zenón pensaba que, como Aquiles había de recorrer un número infinito de intervalos, la distancia total a superar era infinita. Sin embargo, esto no es cierto. La longitud del primer intervalo(entre las posiciones iniciales de Aquiles y la tortuga) es d0 = 1 m; la del siguiente intervalo, d1 = 1/10 m, y la del enésimo dn = 1/10n m. La longitud total en metros a recorrer es, por consiguiente, la que del cálculo cinemático:
n=0
1 = 1 = 10 . 10n 9 1- 1 10
(*) Profesor del Dpto. de Física Teórica e Historia de la Ciencia. Facultad de Ciencias - Universidad del País Vasco.
Octubre2002 • 2002 Urria
143
Juan M. Aguirregabiria
Una forma equivalente de expresar este resultado mediante aritmética elemental es recordar que en el primer intervalo la longitud total recorrida es de 1 m, que llega a 1,1 m tras el segundo intervalo, a 1,11 m tras el tercero y así sucesivamente, con lo que en límite tenemos 1,111 ... m, que como se aprende muy pronto (así era al menos, hace yabastante tiempo, cuando yo era un crío) es precisamente 10/9 m. Nótese que la suma de la serie geométrica (que puede obtenerse como límite de la suma elemental de la progresión geométrica y era desconocida por Zenón) no es en realidad imprescindible, ya que cualquier suma parcial está acotada por el valor de la distancia total: 1 = 1.11 ... 11 = 111 ... 11 < 10 . 10n 100 ... 00 9
n=0
Aun...
LA «PARADOJA» DE ZENÓN
Juan M. Aguirregabiria (*)
En el siglo V antes de Cristo, Zenón de Elea planteó una serie de paradojas en defensa de la filosofía de su maestro Parménides, en la que el movimiento y el cambio eran pura ilusión. La más famosa de ellas puede enunciarse como sigue: «Si Aquiles quiere alcanzar a una tortuga que huye de él, deberá primero llegar adonde la tortuga se hallaba cuando Aquiles inició su marcha; pero para entonces la tortuga estará en una nueva posición, que también deberá ser alcanzada por Aquiles antes de atrapar a la tortuga. Como esto se repite una y otra vez, sin fin, Aquiles no llegará a alcanzar a la tortuga.» Al parecer, y puesto que vemos que Aquiles si alcanza a la tortuga, deberíamos concluir que el movimiento es un meroespejismo de nuestros sentidos. Como esta conclusión, cercana al solipsismo, es inaceptable para la mayoría de la gente, en los últimos 25 siglos se han propuesto distintos modos de explicar la paradoja y el tema sigue suscitando interés, como demuestra el hecho de que introduciendo las palabras inglesas «Zeno» y «paradox» en un popular buscador de Internet se obtengan más de 6000 documentos quelas contienen. Una de las refutaciones más extendidas se ha basado en negar la posibilidad de dividir indefinidamente el espacio; incluso se ha invocado la física cuántica para asegurar que hay una distancia mínima(1). Como vamos a intentar demostrar, la existencia o ausencia de una distancia física mínima es, en el fondo, irrelevante para resolver la paradoja. Lo que hay que analizar es por quése concluye la imposibilidad de que Aquiles alcance a la tortuga, ya que leyendo con cuidado el enunciado de la paradoja, se observa que en realidad se ha omitido la razón para obtener esa conclusión de las palabras precedentes. Para estudiar las distintas posibilidades de suplir esa premisa oculta vamos a considerar un ejemplo numérico particular que, aunque no resta generalidad a la discusión,permite concretarla. Supongamos que Aquiles se mueve a una velocidad constante vA = 1 m/s mientras que la tortuga es realmente rápida y alcanza la velocidad vT = 0.1 m/s Si la ventaja inicial de la tortuga es d0 = 1 m probablemente no hace falta ni haber estudiado cinemática elemental para concluir que Aquiles alcanzará a la tortuga cuando haya recorrido la distancia que ésta ha hecho más la ventajainicial: d = vAt = vTt + d0. De aquí obtenemos que ambos se hallarán en el mismo punto en el instante t = d0/(vA-vT) = 10/9 s, es decir, cuando Aquiles ha recorrido una distancia total d = 10/9 s Tal vez Zenón pensaba que, como Aquiles había de recorrer un número infinito de intervalos, la distancia total a superar era infinita. Sin embargo, esto no es cierto. La longitud del primer intervalo(entre las posiciones iniciales de Aquiles y la tortuga) es d0 = 1 m; la del siguiente intervalo, d1 = 1/10 m, y la del enésimo dn = 1/10n m. La longitud total en metros a recorrer es, por consiguiente, la que del cálculo cinemático:
n=0
1 = 1 = 10 . 10n 9 1- 1 10
(*) Profesor del Dpto. de Física Teórica e Historia de la Ciencia. Facultad de Ciencias - Universidad del País Vasco.
Octubre2002 • 2002 Urria
143
Juan M. Aguirregabiria
Una forma equivalente de expresar este resultado mediante aritmética elemental es recordar que en el primer intervalo la longitud total recorrida es de 1 m, que llega a 1,1 m tras el segundo intervalo, a 1,11 m tras el tercero y así sucesivamente, con lo que en límite tenemos 1,111 ... m, que como se aprende muy pronto (así era al menos, hace yabastante tiempo, cuando yo era un crío) es precisamente 10/9 m. Nótese que la suma de la serie geométrica (que puede obtenerse como límite de la suma elemental de la progresión geométrica y era desconocida por Zenón) no es en realidad imprescindible, ya que cualquier suma parcial está acotada por el valor de la distancia total: 1 = 1.11 ... 11 = 111 ... 11 < 10 . 10n 100 ... 00 9
n=0
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