Zootecnista

Modelo mixto: estimación y prueba de hipótesis

Comenzaremos definiendo el modelo lineal de efectos fijos para luego extender dicha definición al caso del modelo lineal mixto. El modelo lineal es ampliamente utilizado en la experimentación para analizar la variabilidad de observaciones (respuestas) realizadas sobre características de importancia en función de una o más variables predictoras ofactores. Los modelos de este tipo pueden ser especificados de la forma general:

Los términos x de la forma general, asumen los valores 1 ó 0 y son usados para indicar a qué UE y a qué tratamiento corresponde la observación yi; por ejemplo si y3 fue observada sobre la unidad 1 bajo el tratamiento B, entonces los x correspondientes a la UE 1 y al tratamiento B serán 1 y los restantes cero. Ennotación matricial, el modelo lineal general tiene la forma:

donde es un vector de observaciones, es una matriz de diseño, es el vector de parámetros (o efectos fijos) y es el vector de errores, definido como . El ejemplo anterior es un caso típico del modelo de ANOVA, donde los términos x representan a factores de clasificación (efectos categóricos) y por tanto la matriz será una matriz deceros y unos. Cuando los términos x representan covariables (variables medidas en una escala cuantitativa) en vez de factores, se tiene el modelo clásico de regresión lineal y en ese caso la matriz contiene los valores de las variables regresoras para cada observación. Para modelar efectos de factores de clasificación se requieren varios parámetros mientras que el efecto de una covariable puedemodelarse con uno o pocos parámetros. Los modelos que tienen ambos, factores y covariables, se denominan modelos de análisis de covarianza (ANCOVA).

Estimación de los parámetros
Utilizando el procedimiento de mínimos cuadrados ordinarios, se puede estimar el vector de parámetros resolviendo las ecuaciones normales . La solución está dada por , donde es una inversa generalizada de (Searle,1971). Para hallar una estimación del vector de parámetros, no hace falta hacer suposiciones distribucionales sobre el vector . Si se asumen los supuestos del modelo de muestreo ideal, i.e. términos de error independientes y normalmente distribuidos con media 0 y varianza , entonces, la matriz de covarianzas de , utilizada para realizar inferencia estadística sobre , es .
Modelo Mixto
Extendiendoel modelo lineal general presentado anteriormente a situaciones donde se incorporan efectos aleatorios se tiene el modelo lineal general mixto. La ecuación matricial para el modelo lineal mixto es:

donde , , y representan las mismas entidades del modelo de efectos fijos y los nuevos componentes son: 1) que representa una segunda matriz de diseño de dimensión nxq (matriz especificadaexactamente en la misma forma que , excepto que no incluye una columna para el término constante) y que asocia cada observación a los efectos aleatorios correspondientes y 2) el vector qx1 de elementos aleatorios ( efectos o coeficientes) que usualmente se asume distribuido N (,). Sobre el vector se supone distribución N (, ), y este vector e es definido como:

Dado que la esperanza del vectoraleatorio es , en el modelo lineal mixto, el valor esperado de una observación es la esperanza incondicional de la media de (es decir promediada sobre todos los posibles valores de ):

Es decir, los niveles observados de un efecto aleatorio son una muestra aleatoria de la población de niveles y la esperanza incondicional es la media de sobre toda esa población.
Por otro lado, la esperanzacondicional de dado es:

esperanza que representa la media de para el subconjunto específico de niveles del efecto aleatorio observados en el experimento.
La matriz es modelada como cuando se considera que los términos de error (generalmente asociados a la UE) son independientes y tienen la misma varianza . Los términos aleatorios se suponen independientes de los términos aleatorios ....