A Calculo021 22013

Editado por
Verónica Gruenberg Stern

Apuntes de

MAT021 - Cálculo

vs. 2◦ sem. 2013

Prefacio

Estimados alumnos:
Este texto ha sido desarrollado especialmente para ustedes, y es el resultado del aporte de muchos
colegas del Departamento de Matemática de la Universidad Técnica Federico Santa María, que a
lo largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporan, además delos propios, apuntes de profesores tanto de Casa Central como del Campus Santiago, especialmente de
Pedro Gajardo y Erwin Hernández. En esta versión, los apuntes que hemos tomado de ellos han
sido editados por quien suscribe, para enfatizar algunos aspectos que nos parecen importantes. La
estructura del apunte incorpora no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad,
sino quetambién una gran cantidad de ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan
con entusiasmo, para lograr mejores aprendizajes. Hemos optado también por incluir muchas demostraciones de los teoremas que revisarán en clases. No es el objetivo que todas éstas sean vistas
en clases. Más bien, esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar
en la aprehensión de losconceptos involucrados, y de comprender cómo se realiza la construcción del conocimiento matemático. Esperamos que esta tercera versión, aún preliminar, les sea de
utilidad, y que cualquier error que aún se encuentre (por cierto, involuntario), nos sea informado
al mail indicado abajo. Hemos incorporado varias de las correcciones que nos han hecho llegar, y
agradecemos la tarea silenciosa y meticulosade quienes así lo han hecho.
Es importante que tengan presente que, aunque hemos intentado incluir todo el material pedagógico relevante, este apunte no reemplaza las clases. Nada se compara a la interacción que se
produce en el aula, tanto con sus profesores como con sus compañeros. La discusión de los conceptos y la contrastación de diversos puntos de vista fortalece la comprensión de losmismos. Pero,
para argumentar adecuadamente y lograr un buen aprendizaje de los conceptos e ideas que considera este curso, es fundamental que asistan a clases, que participen activamente en ella, estudien
de manera metódica, ojalá estructurando un horario de estudio diario, preparándose siempre para
su próxima clase y que planteen a sus profesores cualquier duda que les surja.

I

P REFACIO

VerónicaGruenberg Stern

Cordialmente,

Verónica Gruenberg Stern
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa María

veronica.gruenberg@usm.cl

II

Índice general

Prefacio

I

Índice general

III

1. Números Reales

1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. El Cuerpo de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2. Inecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.3. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.4. Ecuaciones e Inecuaciones lineales con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.5. Inecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5. Ejercicios de controles y certámenes . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

29

2. Funciones

31

2.1. El Concepto de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1. Algebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3. Funciones invertibles . . . . ....