A Propiedades Estaticas Areas Planas V1

Ap´
endice A

Propiedades est´
aticas de ´
areas
planas
A.1

Momento est´
atico y Centroide

Sea el ´area plana de la Figura A.1.

´
Figura A.1 Area
plana. Centroide
El ´area S de la misma se obtiene mediante la expresi´on
S=

dS

(A.1)

S

siendo dS un elemento diferencial de ´area, con coordenadas y y z respecto a un sistema de coordenadas arbitrario, con origen en O, como el mostrado en laFigura A.1.
Los momentos est´aticos del ´area con respecto a los ejes y y z, se definen como

Qy =

zdS

(A.2)

ydS

(A.3)

S

Qz =
S

Los momentos est´aticos pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la posici´on
de los ejes y y z. Su ecuaci´on de dimensiones es L3 . La obtenci´on de las coordenadas
(yC , zC ) del centroide es inmediata a partir de los momentos est´aticos, mediante lasexpresiones
215

216

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

yC

=

Qz
=
S

ydS
S

(A.4)
dS

S

zC

=

Qy
=
S

zdS
S

(A.5)
dS

S

Las coordenadas pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la posici´on de los
ejes y y z.
Si un ´area es sim´etrica respecto a un eje, el centro de gravedad debe encontrarse
sobre ese eje, como se muestra en la Figura A.2 a), ya que el momento est´aticode
un ´area respecto a un eje de simetr´ıa es nulo. Si un ´area tiene dos ejes de simetr´ıa, el
centro de gravedad se encuentra en la intersecci´on de ambos ejes, como se muestra
en la Figura A.2 b).

Figura A.2 Simetr´ıas y posici´on del centroide
A menudo, un ´area se puede descomponer en varias figuras simples. Si se conoce el
´area Si de cada una de estas figuras y la localizaci´on de sucentroide (yCi , zCi ), es posible obviar la integraci´on de las expresiones (A.4) y (A.5), y calcular las coordenadas
del centroide mediante las expresiones

yC

=

zC

=

n
i=1 yCi Si
n
i=1 Si
n
i=1 zCi Si
n
i=1 Si

(A.6)
(A.7)

Si una de las figuras simples tuviera un agujero, dicho agujero se considerar´ıa como
una parte adicional de ´area negativa.

A.2
A.2.1

Momentos de inercia y radios de giroMomentos de inercia

Los momentos de inercia Iy e Iz de un ´area con respecto a los ejes y y z, respectivamente, se definen como
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´
erez

Propiedades est´aticas de ´areas planas

217

Iy =

z 2 dS

(A.8)

y 2 dS

(A.9)

S

Iz =
S

Los momentos de inercia son cantidades siempre positivas y de dimensiones L4 .
El momento polar de inercia JO , o momentorespecto a un punto O, como se
muestra en la Figura A.3,

Figura A.3 Momento polar de inercia
se obtiene mediante la expresi´on
y 2 + z 2 dS = Iz + Iy

r2 dS =

JO =
S

(A.10)

S

El momento de inercia de una secci´on compuesta con respecto a cualquier eje es la
suma de los momentos de inercia de sus partes respecto a dicho eje.

A.2.2

Radios de giro

El radio de giro i de una secci´on, se define comola ra´ız cuadrada del cociente
entre el momento de inercia y el ´area de la secci´on. Referidos a unos ejes de referencia
y y z, ser´an

iy =
iz =

Iy
√S
Iz
S

(A.11)
(A.12)

El radio de giro es una cantidad siempre positiva y de dimensiones [L]. Aunque
el radio de giro no tiene un significado f´ısico obvio, se puede considerar como la
distancia (medida desde el eje de referencia) donde deber´ıaconcentrarse todo el ´area
para dar el mismo momento de inercia que el ´area original.

A.3

Producto de inercia

El producto de inercia de una secci´on respecto a un sistema de ejes perpendiculares
y y z, se define como
(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´
erez

218

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Iyz =

y zdS

(A.13)

S

Al igual que en los momentos de inercia, ladimensi´on del producto de inercia es
L4 . Sin embargo, el producto de inercia puede ser positivo o negativo, como se
muestra en la Figura A.4 a), o nulo, como se muestra en la Figura A.4 b).

Figura A.4 a) Producto de inercia: signos. b) Secci´on sim´etrica respecto al eje z :
producto de inercia nulo
Si todo el ´area se encuentra en el primer cuadrante respecto a los ejes de referencia,
el producto...