An´Alisis Matricial.

An´alisis Matricial.
Jorge Antezana y Demetrio Stojanoff
´Indice General
1 Preliminares. 1
1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Matrices Unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Matrices normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Matrices Hermitianas . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Principio minimax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Descomposici´on polar y valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Normas en Mn(C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Mayorizaci´on y matrices Hermitianas 16
2.1 Definiciones y propiedadesb´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Aplicaciones a matrices Hermitianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Normas unitariamente invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Mayorizaci´on de matrices Hermitianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Teoremas de Lindskii y sus aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 27
3 Desigualdades de matrices. 31
3.1 Producto de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Partes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Teor´ıa de Perr´on-Frobenius. 36
4.1 Matrices de entradas positivas. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Matrices de entradas no negativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
An´alisis Matricial.
1 Preliminares.
1.1 Generalidades
A lo largo de este trabajo consideraremos a C o R como cuerpo de escalares. Notaremos
Mn(C) =Mn = Cn×n, las matrices cuadradas de n × n sobre C. An´alogamente, Mn(R) =
Rn×n. Para denotar las entradasde una matriz 2 Mn(C), usaremos indistintamente, por
conveniencia del contexto, las notaciones A = (Aij)ij o A = (aij)ij .
1
Los vectores de Cn ser´an pensados como vectores columna, es decir que identificamos
Cn con Cn×1. Sin embargo, a lo largo del texto los describiremos como una fila (estilo
x = (x1, . . . , xn) 2 Cn), para ahorrar espacio.
Si A 2Mn(C), lo pensaremos tambi´en como unoperador (o transformaci´on lineal) sobre
Cn por multiplicaci´on: si x 2 Cn, entonces A(x) = Ax (el producto standard de matrices).
Algunas veces pensaremos a ciertas matrices como operando en espacios vectoriales m´as
generales. Por ejemplo, si S  Cn es un subespacio y A 2 Mn(C) verifica que A(S)  S,
entonces se puede pensar a A (o su restricci´on a S) como un operador en S. En tal casodiremnos que “pensamos” a A|S 2 L(S), donde L(S) denotar´ıa al conjunto de operadores
lineales en S.
En Cn consideraremos el producto interno (o escalar) com´un, dado por
hx, yi =
n Xk=1
xk yk , x, y 2 Cn.
Es claro que h·, ·i : Cn × Cn ! C verifica las propiedades de un tal producto: Dados
v, v,w 2 Cn y  2 C, entonces
1. hv, vi  0 y hv, vi = 0 si y s´olo si v = 0.
2. hu, vi = hv, ui.
3. hv,(u + w)i = hv, ui + hv + wi.
4. hu, vi = hu, vi.
Dado x 2 Cn, definiremos su norma Eucl´ıdea, a la usual:
kxk = kxk2 = hx, xi1/2 = (
n Xk=1
|xk|2)1/2.
Muchas veces consideraremos otras normas de vectores y matrices. Por ello damos una
definici´on general:
Definici´on 1.1.1. Sea K = C o R y V un K-espacio vectorial. Una norma en V es una
funci´on N : V ! R que verifica las siguientescondiciones: Dados v, v 2 V y  2 K,
1. N(v)  0 y N(v) = 0 si y s´olo si v = 0.
2. N(u + v)  N(u) + N(v).
3. N(v) = || N(v). 4
Cuando una tal norma proviene de un producto interno, diremos que el par (V,N), o bien
(V, h·, ·i) es un espacio de Hilbert (ojo, ac´a se asume que dimV < 1). Usualmente usaremos
letras H o K para tales espacios y notaremos por L(H,K) al espacio de operadores...