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Potencias y raíces

Potencias y raíces
operaciones
←⎯⎯⎯→
inversas

Potencia
exponente
↓
3

7

↑
base

= 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 343

→

Raíz
índice
↓
3

343 = 7

↑
base

Para unificar ambas operaciones, se define la potencia de exponente fraccionario:

a

b

c

= c ab

Características especiales de las potencias y raíces, según el tipo de números:
• Números naturales
Potencias
Raíces
• Base y exponente sonnúmeros naturales.
• Índice y base son números naturales.
• Números enteros
Potencias
Raíces
• Base y exponente son números enteros.
• Base entera e índice natural.
• Si el índice es par, la base debe ser
positiva.
• Números racionales
Potencias
Raíces
• Base y exponente son números fraccionarios.
• Índice y exponente son inversos.
• La base debe ser positiva si el denominador del exponente espar.

Propiedades de las potencias (y raíces)
En general, las propiedades de las potencias (y raíces) de un número racional pueden enunciarse así,
siendo a, b, p, q números racionales:
• La potencia de exponente 1 es igual a la base:
a1 = a
• El producto de potencias con la misma base:
Para multiplicar potencias con la misma base, sólo es necesario sumar los exponentes, dejando la
base sinmodificaciones
ap × a q = a p + q
• El cociente de potencias de la misma base:
Para dividir potencias con la misma base, sólo es necesario restar los exponentes, dejando la base
sin modificaciones.
ap : aq = ap – q
• La potencia de exponente 0 es igual a 1:
Cualquier potencia (con base distinta del 0) de exponente 0 resulta siempre igual a 1.
a0 = 1
• La potencia de una potencia:
El resultado de elevar unapotencia cualquiera a otro exponente es igual a una potencia que tiene
por base la base de la potencia, y cuyo exponente es el producto de exponentes
(ap)q = ap · q
• El producto de potencias con el mismo exponente:
El resultado de multiplicar distintas potencias con el mismo exponente es igual a una potencia
cuya base es el producto de las bases, y el exponente es el exponente común.
ap × bp =(a × b) p
• El cociente de potencias con el mismo exponente:
El resultado de dividir dos potencias con el mismo exponente es igual a una potencia cuya base
es el cociente de las bases, y el exponente es el exponente común.
ap : bp = (a : b) p

¿Cómo se realiza la potenciación de números y cuáles son sus
propiedades?
Aunque la potenciación se realiza de la misma manera para cualquier
número, cadatipo de número tiene unas características especiales que
requieren una atención especial. Las propiedades básicas de la
potenciación se dan para los números naturales, pero pueden extenderse al
resto de números.
Como es sabido, cuando se tiene una expresión con un grupo de multiplicaciones con
los mismos factores, para abreviarla puede utilizarse una potencia. Por ejemplo: 7 · 7
· 7 · 7 · 7 = 75.Se puede observar cómo la potencia está formada por dos números:
• La base de la potencia, que es el número repetido en la multiplicación. En el
ejemplo, la base es 7.
• El exponente de la potencia, que indica el número de veces que se repite la
base en la multiplicación. En el ejemplo, el exponente es 5 porque el 7 se
repite 5 veces.
Para designar una potencia se usa el término elevado a. En elejemplo, 75 se lee
“siete elevado a cinco”, o incluso, “siete elevado a la quinta potencia”, excepto en
dos casos: si el exponente es 2, se utiliza el término al cuadrado, por ejemplo, 82 se
lee “ocho al cuadrado”; y si el exponente es 3, se utiliza el término al cubo, por
ejemplo, 53 se lee “cinco al cubo”.
Para simplificar los cálculos con potencias, es útil utilizar estas propiedades:
• Lapotencia de exponente 1
El resultado de una potencia de exponente 1 es igual a la base. Por ejemplo,
51 = 5.
• El producto de potencias de la misma base
Para multiplicar potencias con la misma base, sólo es necesario sumar los
exponentes, dejando la base sin modificaciones. Por ejemplo, 34 · 32 = 34 + 2
= 36. Esto es así porque
34 · 32 = (3 · 3 · 3 · 3) · (3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36
• El...