C Lculo 06 Conjuntos Y Operaciones

Taller matemático
(Cálculo)
Venancio Tomeo
Universidad Complutense

Parte II:
6: Conjuntos y operaciones
7: Funciones y gráficas
8: Exponencial y logaritmica
9: Funciones trigonométricas
10: Límites de funciones

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6. CONJUNTOS Y OPERACIONES
Términos primitivos
A partir de tres ideas previas, que no se pueden definir, se
construye la teoría de conjuntos. Estos conceptos básicosson
elemento, conjunto y pertenencia.
Supuesto que tenemos adquiridos esos conceptos, llamados
términos primitivos, podemos empezar.
Los conjuntos se representan, en principio, con letras mayúsculas:
A, B, C, ... y los elementos con minúsculas: a, b, c, ...
Escribimos A = {a, b, c, d} para indicar que los elementos de A son
a, b, c y d.
Para indicar que el elemento a pertenece al conjunto A,escribimos
para indicar que e no pertenece al conjunto A, escribimos

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Determinación de conjuntos
Un conjunto está determinado si se conocen cuales son los
elementos que lo forman, es decir, cuales son sus elementos.
Para determinar un conjunto hay dos métodos.
Por extensión, enumerando todos sus elementos.
Ejemplos: A = {a, e, i, o, u}, B = {1, 2, 3, 5, 7}.
Por comprensión: dandouna propiedad que verifiquen todos y cada
uno de ellos y sólo ellos.
Ejemplos: A = {vocales del alfabeto}, B = {dígitos primos}.
Un caso particular de la determinación por comprensión es definir el
conjunto mediante una ley recurrente. Así, el conjunto
A = {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}
está formado por términos que son la suma de los dos anteriores.
En general, determinamos los conjuntos mediante A = {: P(x)},
siendo U el conjunto universal en el que se está trabajando.

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Conjuntos especiales
El conjunto vacío es aquél que carece de elementos, se denota
por ∅.
Definimos:
∅ = {x : x ≠ x}.
Un conjunto unitario está formado por un único elemento.
Definimos:
{a} = {x : x = a}.
Se llama universo o conjunto universal, y se representa por U, al
conjunto formado por todos loselementos que se están
considerando.
Se llama cardinal de un conjunto A al número de elementos que
contiene, y se representa por card(A).

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Subconjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A está contenido en B, o
que A es un subconjunto de B, si todo elemento de A pertenece a B.
Escribiremos A B.
También puede decirse que A está incluído en B.

Simbólicamente es: A B
x A
x
donde elcuantificador puede sobreentenderse.

B,

Dos conjuntos son iguales si están formados por los mismos
elementos, es decir si verifican que

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Propiedades de la inclusión
1. Reflexiva: A A
2. Antisimétrica: A B
B A
3. Transitiva: A B B C

A=B
A C

Propiedades de la igualdad
1. Reflexiva: A = A
2. Simétrica: A = B
3. Transitiva: A = B

B=A
B=C

A=C

Propiedades del conjunto vacío1.
A : ∅⊂A
2. ∅ es único.

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Unión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de ambos, y se
representa por A B, al conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B.

Ejemplo 1. A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, h}
A

B = {a, b, c, d, e, h}

Ejemplo 2. C = {personas rubias}, D = {personas altas}.
C

D = {personas rubias o altas}

Taller matemáticoIntersección de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de ambos, y se
representa por A B, al conjunto formado por los elementos que
pertenecen a la vez a A y a B.

Ejemplo 1. A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, h}.
A

B = {c, d}.

Ejemplo 2. C = {personas rubias}, D = {personas altas}.
C

D = {personas rubias y altas}

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Intersección de conjuntos
Si dos conjuntos A y B notienen en común ningún elemento,
se dice que son disjuntos, y verifican
A

B = ∅.

Ejemplo. A = {a, b, c, d}, B = {e, f, g, h, i, j}.
A

B = ∅.

En el caso de conjuntos disjuntos se verifica que
card(A

B) = card(A) + card(B).

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Complementario de un conjunto
Sea A U, llamamos complementario de A al conjunto de todos
los elementos de U que no pertenecen a A. Se denota por
y...