C Lculo Vectorial B Sico

CÁLCULO
VECTORIAL
BÁSICO

1. Magnitudes físicas : magnitudes escalares y vectoriales.

Las magnitudes físicas son propiedades de la materia que se pueden medir. Ej : la longitud de una mesa, la
temperatura de un cuerpo, la fuerza que ejerce un cuerpo sobre otro, …
No son magnitudes de los cuerpos, cualidades que no se pueden medir. Ej : la bondad, la avaricia, la simpatía,
la belleza.
Para medirse compara una cantidad de una magnitud con otra de la misma que se toma como unidad. El
resultado es el valor de la medida de la magnitud, que viene expresada por un número seguido del símbolo de
la unidad utilizada para realizar la medida. Ejemplo : la estatura de Silvia es de 1,65 m .

Magnitudes escalares y vectoriales

La gran variedad de cosas medibles (magnitudes) se pueden clasificar endos grandes grupos:


Magnitudes que sólo requieren dar su valor. Por ejemplo 5,0 g ; 25 0 C ; 54,65 s… Son las
llamadas magnitudes escalares.



Magnitudes que para estar correctamente especificadas se requiere conocer:
Su valor o módulo : es la longitud del vector.
Su dirección (representada por una recta) : es la recta donde se encuentra el vector.
Su sentido (que se representa por una puntade flecha)
Su punto de aplicación : es el origen del vector

Son las llamadas magnitudes vectoriales que usan para su representación flechas o vectores.
Son ejemplos de éstas la velocidad, la aceleración o las fuerzas.

Las magnitudes vectoriales se representan por una letra mayúscula, o bien por los
puntos origen y extremo con una flecha encima.

¿Qué son los vectores libres?
Son aquellosvectores que tienen la misma magnitud o módulo, dirección y sentido aunque no tengan el mismo punto de
aplicación (origen).

2.- Componentes cartesianas de un vector
Siempre podemos descomponer un vector en sus dos componentes. Es decir, obtener otros dos
vectores perpendiculares que, actuando a la vez, produzcan el mismo efecto que el vector

considerado actuando solo.

1. Trazar una paralela aleje X

vy

v

2. Trazar una paralela al
eje Y

Componente y

vx
Componente x

siendo sus coordenadas:

Para obtener el valor (módulo) de las componentes:

vy

v

vx = v. cos α
vy = v . sen α

α

vx

Expresión de un vector en función de los vectores unitarios

Aprovechando el concepto de producto de un escalar por un vector se pueden obtener una notación muy útil
para representar los vectores. Sedefinen en primer lugar los llamados vectores unitarios. Esto es, unos
vectores que tienen módulo uno (1), cuya dirección es la de los ejes coordenados y su sentido el sentido positivo
de éstos.

Usando estos vectores es muy fácil escribir vectores cuya dirección sea la de los ejes
coordenados:

y también resulta muy sencillo expresar cualquier otro vector:

3i

Vector de módulo 3 que apunta enla
dirección positiva del eje X.

2 i

Vector de módulo 2 que apunta en la
dirección negativa del eje X.

4j

Vector de módulo 4 que apunta en la
dirección positiva del eje Y.

3 j

Vector de módulo 3 que apunta en la
dirección negativa del eje Y.

La notación en función de los vectores unitarios da una gran información y facilita muchísimo el cálculo con
vectores.

El vector v  4 i  3 j , esun vector cuyo módulo vale: v 
eje x de: tg  

42  32  25 y que forma un ángulo con el

3
 0,75 ;   inv tg (0,75)  36,87 0
4
Y

Imaginemos dos vectores concurrentes
en el origen expresados en función de los
vectores unitarios…

v1  4 i  3 j

3j

v2  7 i  j

j
i

4i

7i

X

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendosus coordenadas:

V = Vx + Vy + Vz

¿Cómo se obtienen las componentes de un vector a través de las componentes de dos puntos?

P = ( Px , Py ) ; Q = ( Qx , Qy )

Vector que une dos puntos: PQ = ( Qx - Px ) i+ (Qy - Py ) j
Q

P

¿Cómo se calcula el módulo de un vector?

Recordemos que el módulo de un vector es la longitud del
segmento orientado correspondiente. El módulo de un vector
es un número...