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Algebra & Geometría Analítica
MATRICES
Definición:
Una matriz es una tabla rectangular de números o elementos de un anillo .
Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes:
En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera.. Las líneas
horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas
verticales, o columnas, se numeran deizquierda a derecha. Utilizando esta
notación, el elemento de la segunda fila y tercera columna de M1 es -1. Una
fila o columna genérica se denomina línea.
El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en
este orden, así M1, M2, M3 y M4 son de tamaño 3 3, 3 3, 3 2 y 2 3
respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m n se
representan normalmenteutilizando un doble subíndice; el primer subíndice,
i, indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues,
el elemento a23 está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general
se puede representar de forma abreviada como A = (aij), en donde los
posibles valores de los índices i = 1, 2, …, m y j = 1, 2, …, n se han de
dar explícitamente si no sesobrentienden.
Matrices Cuadradas: Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas
(o columnas) es el orden de la matriz.
Dos matrices A = (aij) y B = (bij), son iguales si y sólo si son de igual
tamaño y si para todo i y j, aij = bij.
Si A = (aij) es una matriz cuadrada, los elementos a11, a22, a33, … forman
la diagonal principal de la matriz.
La suma de dos matrices sólo está definida siambas tienen el mismo tamaño.
Si A = (aij) y B = (bij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se
define como la matriz (cij), en la que cij = aij + bij, es decir, para sumar
dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes.
Así, para las matrices mencionadas anteriormente
El conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño tiene las
propiedadesuniforme, asociativa y conmutativa de la adición. Además hay una
matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O + A = A
y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.
El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de
columnas del factor izquierdo, A es igual al número de filas del factor
derecho, B; si A = (aij) es de tamaño m n y B = (bjk)es de tamaño n p,
el producto AB = C = (cik) es de tamaño m p,
El elemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los
productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo
multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor
derecho.
El producto entre matrices no es conmutativo. Es decir AB ¹ BA
Propiedades de las matrices
Suma ymultiplicación por un escalar
1. A+0=A (El cero representa una matriz neutra del mismo orden que A)
2. 0.A =A.0=0 (El cero en los dos primeros términos representa un escalar,
mientras que en el último término representa una matriz del mismo orden que
A)
3. A+B=B+A Ley conmutativa para la suma de matrices
4. (A+B)+C= A+ (B+C) Ley asociativa para la suma de matrices.
5. a (A+B) = aA+aB Ley distributiva para la multiplicación por un escalar.
6. 1.A=A
7. (a+b) A = a A+ bA
Multiplicación entre matrices
Ley asociativa para la multiplicación de matrices.
Sea A = una matriz de orden m x n y B= de orden n x p, y C =
de orden p x q , entonces
A(BC) =(AB)C y el resultado es una matriz de m x q.
Leyes distributivas para la multiplicación de matrices:
1. A(B+C)= AB+AC2. (A+B) C= AC+BC
Matrices espaciales
La matriz diagonal es una matriz cuadrada, en la que todos sus elementos son
nulos, excepto la diagonal principal.
La matriz escalar es una matriz diagonal que tiene los elementos de la
diagonal iguales.
La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0.
La matriz identidad Im de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en la...