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DEDICATORIA












Primero y antes que nada, agradecemos a Dios, por estar con nosotros en cada paso que damos, por fortalecer nuestros corazones e iluminar nuestras mentes. Y a los maestros, gracias por su tiempo, por su apoyo así como por la sabiduría que nos transmiten en el desarrollo de nuestra formación profesional,












Momentos ycentros de masa
Muchas estructuras y sistemas mecánicos modelados en ingeniería se comportan como si sus masas estuviesen concentradas en un solo punto, llamado centro de masa. Cuando las masas de los objetos son puntuales (caso discreto), el centro de masa es un cociente de sumatorias, pero en el caso de cuerpos sólidos, que tienen (al menos en el nivel macroscópico) una distribución continua demateria (caso continuo), las sumatorias se reemplazan por integrales y nuestro propósito en este módulo es usar la integral para determinarlo en el caso de varillas delgadas, láminas planas delgadas y sólidos de revolución.
Acerca de tales problemas se puede decir en forma general que:
1.Si un cuerpo homogéneo (densidad constante) tiene un centro geométrico, como una bola de hierro o un cubo deazúcar, el centro de masa está en el centro geométrico.
2.Si un cuerpo tiene un eje de simetría, el centro de masa está sobre dicho eje.
3.Ninguna ley establece que el centro de masa debe estar localizado dentro del cuerpo. Así por ejemplo, el centro de masa de una dona está en el agujero. En el ejemplo 9 se muestra que el centro de masa de un alambre en forma circular está fuera de él.
Ladensidad se define como el producto de la masa por la unidad de volumen; sin embargo, en la práctica se utilizan unidades que pueden medirse de manera más apropiada. Así por ejemplo:
Para alambres y varillas delgadas
 
masa = densidad ×longitud.
Asociar:
dm
 
=
δ1
⋅
dL
 
 
dif . masa
densidad
 
dif . longitud
„
Para hojas planas y láminas delgadas
 
 
 
 
 
 
 
 masa = densidad ×área. Asociar: dm
=
 
δ2
 
⋅
dA
 
 
dif . masa
densidad
dif . de área
 
 
 
 

 
 
 
„
Para sólidos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
masa = densidad ×volumen.
Asociar:
dm
 
=
δ3
⋅
dV
 
 
dif . masa
densidad
 
dif . de volumen
 
 
 
 
 

 
 

Centro de masa de una varilla o de un alambre
Caso discreto
Supongamos un conjuntode n masas m1, m2,…, mn; situadas sobre el eje x en los puntos de abscisas x1 , x2 ,…, xn . El momento de cada masa mi con respecto al origen será mi xi y su momento total será ∑mi xi.
Se llama centro de masa al punto P de abscisa x dada por:
 
 
 
 
 
n
x =
m x + m x +
+ m x
=
∑mi xi

1 1
2 2
n n

i=1 .
 
m1 + m2 + … + mn
 
n
 
 

 
∑mi
 
 
 
 
 
i=1

El centro de masa P tiene la siguientepropiedad física: si las masas son puntuales, o sea que ocupan solamente un punto y están colocadas sobre una varilla ideal sin peso o de peso despreciable, el sistema queda en equilibrio cuando se le suspende de P.
Caso continuo
Consideremos ahora una varilla rígida de diámetro pequeño y longitud L colocada sobre el eje x de tal modo que uno de sus extremos coincide con el origen 0. Supongamosademás que la densidad lineal (unidades de masa por unidad de longitud) es una función δ1 (x), integrable en [0, L].
Si hacemos una partición P de la varilla en n segmentos de longitud xi = xi − xi−1 , una aproximación a la masa del i-ésimo intervalo será δ1 (ti ) xi , en donde ti es un punto de [xi −1 , xi ] y xi su longitud, una aproximación a su momento con respecto al origen será tiδ(ti ) xi .La masa total m estará dada por:
 
 
 
 
 
n
xi = ∫0L δ1 (x) dx .
m =
 
 
lim
∑δ1 (ti )


 

P
→0


 
 
 
 
 
i=1
 


El momento de masa total M será:
 
 
 
 
 
n
xi = ∫0L xδ1 (x) dx.
M =
 
 
lim
∑tiδ1 (ti )


 

P
→0


 
 
 
 
 
i=1
 
El centro de masa estará dado por:
X=  ∫0LLxδ1 (x) dx ....