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INDICE

INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales fueron inicialmente tratadas por Newton para estudiar el movimiento planetario, luego fue progresando a medida que se afianzo en la ciencia natural, especialmente en la física con problemas importantes como, la ley del movimiento de Newton, las ecuaciones de Euler para la hidrodinámica, la ecuación de calor por Fourier, etc.  Actualmente lasecuaciones diferenciales no solo se utilizan en el campo de la física, sino también en la ingeniería, de la química, economía, agronomía, etc., de ahí que su estudio sea indispensable para la especulación de toda ciencia natural. Consideremos ahora tres maneras de formular las ecuaciones diferenciales.
La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacadocomo uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través dediferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.



ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Existen muchos y variados campos de las Ciencias donde aparecen, y tuvieron su origen, las Ecuaciones Diferenciales. Por ejemplo:
1. Ley de enfriamiento de Newton: La velocidad conque cambia la temperatura T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T (t) del cuerpo y la temperatura A del medio ambiente. Es decir:
dT (t)
dt
dT(t)dt=k (A ¡ T t)
Luego esta ley nos lleva a una ecuaci´on diferencial T 0 = k(A ¡ T ) donde t es la variable independiente y T la dependiente.

Concepto de ecuaciones diferenciales:
Unaecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida o una o más variables.
Ejemplos:


( x2 + y2 ) dx -2xy dy = 0


Clasificación:
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.
Según el Tipo:
Se clasifican, en ecuación diferencial ordinaria y en ecuación diferencial en derivadas parciales.
Ecuacióndiferencial ordinaria: la función desconocida depende de una sola variable.
Ejemplos: a).

c).
Ecuación diferencial en derivadas parciales:
La función desconocida depende de más de una variable.
Ejemplos:
f es la variable desconocida.
Cuando una ecuación involucra a una o mas derivadas con respecto a una variable en particular, tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente siaparece una derivada de esa variable. En la ecuación:
i es la variable dependiente, t la variable independiente Y, L, R, C, E y W son llamadas constantes o parámetros.
Según el Orden:
Orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el grado de la derivada más alta (exponente).
Ejemplos:

1er Orden



Según la linealidad o no linealidad:
Se diceque una ecuación diferencial es lineal si es de la forma:
donde son coeficientes de x.
Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:
La variable dependiente Y junto con todas sus derivadas son de primer grado.
Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x.
Ejemplos:
Ecuaciones diferenciales lineales.
Se dice que una ecuación diferencial no lineal esuna ecuación diferencial ordinaria que no cumple con las condiciones de linealidad o propiedades de linealidad.
Ejemplos de Ecuaciones diferenciales no lineales.

Problemas de Valor inicial:
Considere la ecuación diferencial sujeta a
Una función desconocida f (x. y) se desea determinar una curva solución que pase por el punto .
En realidad son problemas con condiciones pobre la función...