EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN MÉTODO GRÁFICO Y ALGEBRAICO

EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN MÉTODO GRÁFICO Y ALGEBRAICO

RMC es una pequeña empresa que fabrica una variedad de productos basados en sustancias químicas. En un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo para combustible se vende a compañías petroleras y se usa en laproducción de gasolina y combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de empresas químicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar e industriales. Las tres materias primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como se muestra a continuación:




Ésta nos muestra que una tonelada de aditivo para combustible esuna mezcla de 0.4 toneladas del material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una tonelada de la base para solvente es una mezcla de 0.5 toneladas del material 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas del material 3.

La producción de RMC esta restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el periodo de producción actual,RMC tiene disponibles las siguientescantidades de materia prima:



Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de producción, los materiales que no se lleguen a usar en una corrida de producción no se pueden almacenar para las subsiguientes, son inútiles y deben desecharse.

El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción, asignó todos los costos relevantes y llegó a precios que, para ambos productos,producirían una contribución a la utilidad de $ 40 por cada tonelada de aditivo para combustible producida y $ 30 para cada tonelada producida de base para solvente. Ahora usaremos la programación lineal para determinar la cantidad de aditivo para combustible y la cantidad de base para solvente para producir a fin de maximizar la contribución a la ganancia total.

MÉTODO GRÁFICO

PASOS

1.Trasladar la información relevante del problema a una tabla



2. Describir el objetivo del problema, formular las restricciones y nombrar las variables

Objetivo: Maximizar la contribución total a la ganancia.

Restricciones: 

Material 1 = 125 Ecuación 1
1A+1B >= 350 Ecuación 2
2A+1B = 0 

5. Reemplazar por 0 los valores de A y B en cada una de las ecuaciones

En ecuación 1

SiB=0 entonces:

(A=125,B=0)

En ecuación 2

Si A es 0
1B = 350
(A=0,B=350)

Si B es 0
1A = 350
(A=350,B=0)

En ecuación 3

Si A=0 entonces

1B = 600
(A=0,B=600)

Si B=0 entonces

2A = 600
A = 600/2
A = 300
(A=300,B=0)

6. Graficar los puntos encontrados

Para realizar la gráfica es necesario tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:

1.Preparar una gráfica paracada restricción que muestre las soluciones que satisfagan la restricción.
2.Determinar la región factible identificando las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones.
3.Trazar líneas de función objetivo que muestren los valores de las variables de decisión que producen valores especificados para la misma.
4.Mover líneas de función objetivo paralelas hacia valores máspequeños de la función objetivo hasta que un movimiento mayor a la línea por completo de la región factible.
5.Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con el valor más pequeño es una solución óptima.



Del anterior gráfico podemos deducir que las lineas celestes representan cada una de las restricciones del problema, la línea roja es la función objetivo, la parte de lagráfica sombreada con puntos rojos respresenta el área factible y el punto blanco la solución óptima, a continuación veremos como llegamos a cada una de dichas conclusiones.

MÉTODO ALGEBRAICO

1. Obtener la solución óptima
a. Se usan las ecuaciones 2 y 3 del problema:

1A+1B = 350 Ecuación 4
2A+1B = 600 Ecuación 5

b. Se despeja A de la ecuación 4

1A=350-1B
A=350-1B Ecuación 6

c....