F I PRO 1314 Problemas de vectores

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Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica

Curso 2013-14

Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica

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Curso 2013-14

❈❛♣ít✉❧♦ ✶
❱❡❝t♦r❡s

P❘❖❇▲❊▼❆ ✶✳✶✳❙✉♠❛ ❞❡ ✈❡❝t♦r❡s

❙❡ ❛♣❧✐❝❛♥ ❞♦s ❢✉❡r③❛s F1 ② F2 ✱ ❞❡ ♠❛❣♥✐t✉❞ 2kN ② 3kN ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❛♠❡♥t❡✱ ❡♥ ❡❧ ♣✉♥t♦ B
❞❡ ❧❛ ✈✐❣❛ AB q✉❡ s❡ ♠✉❡str❛ ❡♥ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✶✳ ❉❡t❡r♠✐♥❛r✿
✶✳ ▲❛ ♠❛❣♥✐t✉❞ ② ❧❛ ❞✐r❡❝❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ ❢✉❡r③❛ r❡s✉❧t❛♥t❡ R✳
✷✳ ▲♦s á♥❣✉❧♦s θ1 ② θ2 q✉❡ ❢♦r♠❛ ❧❛ r❡s✉❧t❛♥t❡ ❝♦♥ ❝❛❞❛ ✉♥❛ ❞❡ ❧❛s ❢✉❡r③❛s ❛♣❧✐❝❛❞❛s ❛ ❧❛
✈✐❣❛✳

❋✐❣✉r❛ ✶✳✶✿

❙❖▲❯❈■Ó◆ ✶✳✶✳

✶✳ |R| = 3.304kN ✱
✷✳ θ1 = 63.41♦ ,

θ = 66.59♦ ✭❝♦♥ ❡❧ ❡❥❡❤♦r✐③♦♥t❛❧✮
θ2 = 36.59♦

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Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica

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Curso 2013-14

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❈♦♠♣♦♥❡♥t❡s ❝❛rt❡s✐❛♥❛s ❞❡ ✉♥ ✈❡❝t♦r✳ ❈♦s❡♥♦s ❞✐r❡❝t♦r❡s

❉❛❞❛s ❧❛s ❢✉❡r③❛s F1 ② F2 ✱ ❞❡ ♠❛❣♥✐t✉❞ ✼✺✵◆ ② ✾✵✵◆✱ r❡s♣❡❝t✐✈❛♠❡♥t❡✱ r❡♣r❡s❡♥t❛❞❛s ❡♥ ❧❛
❋✐❣✉r❛ ✶✳✷✱ ❞❡t❡r♠✐♥❛r✿
✶✳ ❙✉s ❝♦♠♣♦♥❡♥t❡s ❝❛rt❡s✐❛♥❛s✳
✷✳ ▲♦sá♥❣✉❧♦s q✉❡ ❢♦r♠❛♥ ❧❛s ❢✉❡r③❛s ❝♦♥ ❧♦s ❡❥❡s ❝♦♦r❞❡♥❛❞♦s✳

❋✐❣✉r❛ ✶✳✷✿

❙❖▲❯❈■Ó◆ ✶✳✷✳

1.− F1x = 390N,
F1y = 614N, F1z = 181.8N
F2x = −130.1N, F2y = 816N, F2z = 357
2.− θ1x = 58.7♦ ,
θ2x = 98.3♦ ,

θ1y = 35.0♦ ,
θ2y = 25.0♦ ,

θ1z = 76.0♦
θ2z = 66.6♦

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Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica

Curso 2013-14

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▼ó❞✉❧♦ ❞❡ ✉♥ ✈❡❝t♦r✳ ❱❡rs♦r❡s

❙❡ ✉s❛♥ tr❡s ❝❛❜❧❡s ♣❛r❛ ❛♠❛rr❛r ❡❧ ❣❧♦❜♦ q✉❡ s❡ ♠✉❡str❛ ❡♥ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✸✳ ❙❡ ♣✐❞❡✿
✶✳ ❉❡t❡r♠✐♥❛r ❧❛ ❢✉❡r③❛ ✈❡rt✐❝❛❧ P q✉❡ ❡❥❡r❝❡ ❡❧ ❣❧♦❜♦ ❡♥ A✱ s✐ s❡ s❛❜❡ q✉❡ ❧❛ t❡♥s✐ó♥ ❡♥ ❡❧
❝❛❜❧❡ AB ❡s TAB = 259N ✳
✷✳ ❉❡t❡r♠✐♥❛r ❧❛ t❡♥s✐ó♥ ❡♥ ❝❛❞❛ ❝❛❜❧❡ s✐ s❡ s❛❜❡ q✉❡ ❡❧ ❣❧♦❜♦ ❡❥❡r❝❡ ❡♥ A ✉♥❛ ❢✉❡r③❛ ✈❡rt✐❝❛❧
P = 800N ✳

❋✐❣✉r❛ ✶✳✸✿

❙❖▲❯❈■Ó◆ ✶✳✸✳

1.− P = 1031N,

TAC =479.15N, TAD = 535.66N

2.− TAB = 201N, TAC = 371.69N, TAD = 416N
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Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica
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Pr♦❞✉❝t♦ ❡s❝❛❧❛r✳ ➪♥❣✉❧♦ ❞❡ ❞♦s ✈❡❝t♦r❡s

❯♥❛ ♠♦❧é❝✉❧❛ ❞❡ ♠❡t❛♥♦✱ CH4 ✱ ❡stá ❡str✉❝t✉r❛❞❛ ❝♦♥ ❧♦s ❝✉❛tr♦ át♦♠♦s ❞❡ ❤✐❞ró❣❡♥♦ s✐✲
t✉❛❞♦s ❡♥ ❧♦s ✈ért✐❝❡s ❞❡ ✉♥ t❡tr❛❡❞r♦r❡❣✉❧❛r ② ❡❧ át♦♠♦ ❞❡ ❝❛r❜♦♥♦ ❡♥ ❡❧ ❝❡♥tr♦✐❞❡ ❞❡❧ ♠✐s♠♦✱
❝♦♠♦ s❡ ♠✉❡str❛ ❡♥ ❧❛ ❋✐❣✉r❛ ✶✳✹✳ ❊❧ á♥❣✉❧♦ ❞❡ ❡♥❧❛❝❡ β ❡s ❡❧ á♥❣✉❧♦ ❢♦r♠❛❞♦ ♣♦r ❧❛ ❝♦♠❜✐♥❛❝✐ó♥
H − C − H ❀ ❡s ❡❧ á♥❣✉❧♦ ❡♥tr❡ ❧❛s ❧í♥❡❛s q✉❡ ✉♥❡♥ ❡❧ át♦♠♦ ❞❡ ❝❛r❜♦♥♦ ❛ ❞♦s ❞❡ ❧♦s át♦♠♦s ❞❡
❤✐❞ró❣❡♥♦✳
❚♦♠❛♥❞♦ ✉♥ s✐st❡♠❛ ❞❡ r❡❢❡r❡♥❝✐❛ ❡♥ ❡❧ q✉❡ ❧♦s ✈ért✐❝❡s ❞❡❧ t❡tr❛❡❞r♦ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥ ❝♦♥ ❧♦s ♣✉♥t♦s

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ② (1, 1, 1)✱ ❡❧ ❝❡♥tr♦✐❞❡ ❞❡❧t❡tr❛❡❞r♦ s❡ s✐tú❛ ❡♥ ❡❧ ♣✉♥t♦ (1/2, 1/2, 1/2)✳
❯t✐❧✐③❛r ❡st❡ ❞❛t♦ ♣❛r❛ ❞❡t❡r♠✐♥❛r ❡❧ á♥❣✉❧♦ β ✳

❋✐❣✉r❛ ✶✳✹✿

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β ≈ 109.5♦

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▲❛ ❞✐r❡❝❝✐ó♥ ♦r✐❡♥t❛❞❛ u ❢♦r♠❛ ✉♥ á♥❣✉❧♦ α = 60♦ ② ✉♥ á♥❣✉❧♦ β = 120♦ ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❛♠❡♥t❡✱
❝♦♥ ❧♦s❡❥❡s X ❡ Y ❞❡ ✉♥ s✐st❡♠❛ ❝❛rt❡s✐❛♥♦ ❞❡ r❡❢❡r❡♥❝✐❛✳ ❈❛❧❝✉❧❛r✿
✶✳ ❉♦s ✈❡rs♦r❡s w1 ② w2 ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r❡s ❛ u ② s✐t✉❛❞♦s ❡♥ ❡❧ ♣❧❛♥♦ XY ✳
✷✳ ▲❛s ❝♦♦r❞❡♥❛❞❛s ❞❡ ❧♦s ❡①tr❡♠♦s P1 ② P2 ❞❡ ❧♦s ✈❡❝t♦r❡s ❝♦♥ ♦r✐❣❡♥ ❡♥ ❡❧ ♣✉♥t♦ A(1, 1, 1)✱
♠ó❞✉❧♦ 4 ② ❞✐r❡❝❝✐♦♥❡s ♣❛r❛❧❡❧❛s ❛ w1 ② w2 ✳

❙❖▲❯❈■Ó◆ ✶✳✺✳

✶✳ w1 = −w2 =

√

2
(i
2

+ j)

✷✳ ❍❛② ❞♦s ♣✉♥t♦s P1 ② P2 ✱ ❝✉②❛s ❝♦♦r❞❡♥❛❞❛s s❛t✐s❢❛❝❡♥ ❧❛s ❝♦♥❞✐❝✐♦♥❡s♣❡❞✐❞❛s✿
√
√
−−→
OP1 = (1 + 2 2)i + (1 + 2 2)j + k,
√
√
−−→
OP2 = (1 − 2 2)i + (1 − 2 2)j + k

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❙✐st❡♠❛ ❞❡ ✈❡❝t♦r❡s ❧✐❣❛❞♦s

❉❛❞♦ ❡❧ s✐st❡♠❛ ❞❡ ✈❡❝t♦r❡s ❧✐❣❛❞♦s✿
a = 2i − 4j + 2k;
b = i + j + 3k;

A(1, −3, 0)...