Funciones creciente y decreciente. concavidad. puntos de inflexión

Guía

Funciones creciente y decreciente. Concavidad. Puntos de inflexión
* Funciones crecientes y decrecientes (primera derivada)
Los valores de x, en los cuales la gráfica de la función es estacionaria, se le llaman valores críticos y a los puntos correspondientes, puntos críticos.
Una función es creciente, cuando a medida que el valor de x aumenta, aumentan el de y; donde tendrán elmismo signo. Cuando una función es decreciente, el valor de y disminuye cuando x aumenta; donde tendrán signos opuestos.
Donde la función es creciente, la tangente forma un ángulo agudo con el eje de las x (la pendiente es positiva). Donde la función es decreciente, la tangente forma un ángulo obtuso con el eje de las x (la pendiente es negativa).
Una función es creciente, en un punto dado, si elvalor de la primera derivada es positivo; y es decreciente si el valor es negativo.
Para determinar si una función es creciente o decreciente en determinados valores de x; y calcular el valor de las ordenadas correspondientes:
1. Calcular la primera derivada de la función
2. Sustituir x con los valores dados y resolver
3. Determinar si es creciente o decreciente
4. Calculas lasordenadas en la función original, sustituyendo x con los valores calculados en el paso 2.
Para determinar los intervalos en los cuales la función es creciente y aquellos en que es decreciente:
1. Calcular la primera derivada de la función
2. Igualar f’(x) a cero, para obtener las raíces x.
3. Construimos una tabla para f’(x), sustituyendo a x; para determinar los intervalos en que lafunción es creciente o decreciente.
La tabla muestra que al ir x de izquierda a derecha:
x>0 Creciente
x=0 Ni creciente ni decreciente
x< Decreciente

* Concavidad (utilizando segunda derivada)
Cuando la tangente queda por debajo de la curva, el arco es cóncavo hacia arriba (la segunda derivada es positiva). Cuando la tangente queda por arriba de la curva, es arco es cóncavo haciaabajo (la segunda derivada es negativa).

* Cálculo del sentido de la concavidad de una función

A. Calculamos la primera y la segunda derivada de la función
B. El resultado de la segunda derivada lo igualamos a cero y obtenemos las raíces (puntos críticos).
C. Analizamos en f’’(x). Sea la raíz x, si para un valor de x, tal que x 0 Condición para que una curva sea cóncavahacia arriba.
F’’ (x) < 0 Condición para que una curva sea cóncava hacia abajo.
Algunas curvas son cóncavas hacia arriba o hacia abajo en todo su recorrido. Otras, en algunos intervalos.
A. Cálculo del sentido de la concavidad de una función en un punto cualquiera.
1. Sustituimos en f’’(x) el valor de x en que se quiere saber el sentido de la concavidad, si el resultado es – lacurva es cóncava hacia abajo; si es + la curva es cóncava hacia arriba.
B. Cálculo del sentido de la concavidad de una función en diferentes intervalos (a la izquierda y derecha de sus puntos críticos).
1. Igualamos a cero f’’(x) y obtenemos las raíces x…
2. Analizamos para un valor menor que x; y posteriormente tomamos un valor mayor que x. Determinamos el sentido de la concavidad en cadacaso. En un punto crítico x hay un cambio en el sentido de la concavidad si cualquier valor a la izquierda de él es negativo (cóncavo hacia abajo), y a la derecha del mismo punto es positivo (cóncavo hacia arriba).

* Puntos de inflexión (segunda o tercera derivada)
Si en un punto de la curva cambia el sentido de la concavidad, entonces decimos que la curva tiene un punto de inflexión. Paradeterminar los puntos de inflexión de una curva hay dos procedimientos:
A. El criterio de la segunda derivada
B. El criterio de la tercera derivada.

* Criterio de la segunda derivada para obtener los puntos de inflexión
Si la concavidad de una curva cambia de sentido, entonces la segunda derivada cambia de signo y en consecuencia es igual a cero en el punto de inflexión. De lo...