I PARTE ESTAD STICA APLICADA 2015

VARIABLE
ALEATORIA

VARIABLE
ALEATORIA

UNA
VARIABLE
X
ES
UNA
VARIABLE
ALEATORIA, SI LOS VALORES QUE TOMA (Y
QUE CORRESPONDEN A LOS DIFERENTES
RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO), SON
EVENTOS ALEATORIOS.
Definición:
Sea ξ
Ω
Se dice que una función X es una VARIABLE
ALEATORIA, si asigna a cada uno de los
elementos wi ε Ω, un número real X(wi).
X: Ω
wi

ℝ
X(wi) = xi ∈ ℝ

VARIABLE
 = Espacio muestralWi •

ALEATORIA
Rx = Rango de X ⊂ ℝ

• X(Wi) = xi

El rango o recorrido de la función X, es decir RX,
es el conjunto de todos los valores posibles de X.
Variable aleatoria Discreta : Si Rx es un conjunto
finito o infinito numerable de valores (X: Ω
ℕ)
Variable Aleatoria Continua : Si Rx puede tomar
un número infinito no numerable de valores (X: Ω

VARIABLE

ALEATORIA

Ejemplo:
Sea ξ: Lanzamientode dos
monedas

Ω:{(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}
Sea X: Número de sellos

RX = {0, 1, 2} ⊂ ℝ

 = Espacio muestral

Rx = Rango de X ⊂ ℝ

(C,C) •
(C,S) •
(S,C) •
(S,S) •

• X(C,C)=0

• X(C,S)=X(S,C)=1
• X(S,S)=2

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Es una descripción del conjunto
de valores posibles xi del rango
RX, junto con la probabilidad
p(xi) asociada con cada uno de
estos valores.

FUNCION DEPROBABILIDAD
Si X es una variable aleatoria discreta con
rango de valores Rx, entonces su función
de probabilidad se define por:
p(x) = P[X = x], para todo x∈ Rx
y tiene las siguientes propiedades:

•
•

p(x)  0

,

 x Rx

 p(x) = 1 ,

x Rx

Cuando Rx no contiene muchos valores, es
más conveniente expresar
p(x) en una
tabla de valores, la cual es llamada
distribución de probabilidad de X.Ejemplos:
1. Experimento: ξ = lanzar dos monedas
Resultados posibles: Ω= {(c,c),(c,s),(s,c),
(s,s)}

V.A. X : Número de sellos.
Valores posibles de X: RX ={0, 1, 2}
Distribución de probabilidad de X

xi

0

1

2

P(xi
)

1/4

2/4

1/4

Ejemplos

:

2. Experimento: ξ = lanzar dos dados
Resultados posibles:
Ω= {(1,1),(1,2),...,(2,1),........,(6,5),
(6,6)}
V.A. X : Suma de los resultados.
Valores posiblesde X: RX ={2, 3,
Distribución
4, ..., 12} de probabilidad de X
Xi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

p(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

E
(X
)
xp(x)

N
ii
i
1

LA MEDIA O VALOR ESPERADO
DE X
Es el promedio de los valores
de X
Se define por:

Mide la tendencia central de la
variable aleatoria X.

V(x)
xE(x)p(x)
2
ii

VARIANZA DE UNA VARIABLE
ALEATORIADISCRETA

Mide la dispersión de la v.a. X
respecto del valor esperado.

Ejemplo: Sea X el número de caras
obtenidas al lanzar tres monedas
Resultados asociados
(Ω)
(s, s, s)
(c,s,s) (s,c,s) (s,s,c)
(c,c,s) (c,s,c) (s,c,c)
(c,c,c)

Xi
0
1
2
3

Distribución de probabilidades

Xi

0

P(xi) 1/8

1
3/8

2

3

3/8 1/8

# p(xi)
1
3
3
1

1/8
3/8
3/8
1/8

V(x)
xE(x)p(x)

E
(X
)
x
p
(
x
)

2
ii
N
ii
i
1E(X)= (0*1/8)+(1*3/8)+(2*3/8)+(3*1/8)
= 12/8 = 3/2 = 1.5

V(X) = ((0-1.5) 2 x 1/8)+((1-1.5) 2 x 3/8)+((2-1.5) 2 x 3/8))+((3-1.5) 2 x
1/8))

V(X)= 0.75

PROPIEDADES
1. E[a] = a
2. E[x (+ o -) a ] = E[x] (+o-)a
3. E[a*x] = a*E[x]
4. E[a*x (+o-) b] = a*E[x] (+o-) b
5. V[a] = 0
6. V[x (+o-) a ] = V[x]
7. V[a*x] = a2 *V[x]
8. V[a*x (+o-) b] = a2*V[x]

DISTRIBUCIONES
DISCRETAS

DISTRIBUCION BINOMIALDISTRIBUCION BINOMIAL
Un experimento aleatorio consiste de n
ensayos repetidos tales que:
1. Los ensayos son independientes.
2. Cada ensayo tiene solo dos resultados
posibles, llamados éxito y fracaso.
3. La probabilidad de éxito en cada
ensayo, se denotada por p, permanece
constante.
Recibe el nombre de experimento
binomial.

Ejemplos:
1. Lanzar una misma moneda tres
veces.
2. Responderaleatoriamente 10
preguntas de verdadero o
falso.
3. Tomar 6 artefactos de un grupo
y determinar si son buenos o
malos.

Notación: X ~ B(x;n;p)

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

 n  x n x
n!
x n x
b( xi ; n, p)  p( xi )   p q 
pq
x !(n  x)!
 x
xi 0,1, 2,......., n

Donde:
n = número de ensayos.
x = número de éxitos en cada ensayos .
n-x = número de fracasos en el ensayo.
p = probabilidad de...