L GICA MATEM TICA Y DEMOSTRACIONES

CAP´ITULO

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Logica

En l´ogica se analiza, entre otros muchos temas, si un razonamiento dado es correcto o no.
Si bien sus aplicaciones pr´acticas son muy diversas, mencionaremos apenas dos: en las
demostraciones (en matem´aticas), y en la elaboraci´on de programas (en computaci´on).

1.1.

Proposiciones

1.1.1. Proposici´on

Definici´on 1. Una proposici´on es una oraci´on declarativa que esverdadera o falsa, pero no
ambas cosas a la vez. Notaci´on: para las proposiciones se emplean letras y, por convenio,
se empieza con p, q, r, s, ..., tambi´en usaremos P, Q, R, S , ...
1.1.2. Valor de verdad

Definici´on 2. El Valor de Verdad (VV) de una proposici´on dada, o bien es verdadero
si la misma es verdadera, o bien es falsa en caso contrario. Notaci´on: en el primer caso
simbolizaremoscon T y con F en el segundo caso.
Observaci´on 1. Denotaremos “verdadero”, ya sea con T, como en estas notas, o tambi´en
con V, como en el texto de referencia o en las pr´acticas. Un motivo de la primera elecci´on
es para aminorar confusiones con el s´ımbolo ∨.
Observaci´on 2. Evitaremos simbolizar falso y verdadero con 0 y 1, respectivamente, la
cual es una notaci´on muy difundida, e.g. ent´ecnicas digitales, o en la Sec. 2.7 del texto
de referencia (2), etc.
1.1.3. Proposici´on compuesta

Definici´on 3. Una proposici´on compuesta es un proposici´on obtenida por la combinaci´on
de una o m´as proposiciones dadas mediante el uso de operadores (o conectivos) l´ogicos.
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CAPITULO
1. LOGICA

1.1. PROPOSICIONES

1.1.4. Tabla de verdad

Definici´on 4. La Tabla de Verdad (TV) muestra enforma sistem´atica los valores de verdad
de una proposici´on compuesta en funci´on de los todas las combinaciones posibles de los
valores de verdad de las proposiciones que la componen.
1.1.5. Operadores o conectivos l´ogicos

Comentario 1. Consideraremos 6 operadores (o conectivos) l´ogicos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Negaci´on (not)
Conjunci´on (and)
Disyunci´on (inclusiva) (or)
Disyunci´on exclusiva (xor)Implicaci´on (material implication)
Doble implicaci´on o bicondicional (eqv)

en donde, en negrita, se destacan los conectivos l´ogicos de uso tan frecuente que han sido incorporados en pseudolenguajes, t´ecnicas digitales, y en lenguajes de programaci´on.
En el libro de texto de referencia (2) se emplean casi indistintamente las frases “operador l´ogico” y “conectivo l´ogico” excepto para lanegaci´on, en donde prefiere la primera
(porque s´olo hay una proposici´on p).
Comentario 2. Ocasionalmente intercalaremos programas demos en algunos temas. Los
mismos ser´an escritos en el lenguaje Python (1) y, para su seguimiento, ser´a suficiente un
conocimiento rudimentario del mismo. Con respecto a Python:
1) Es gratis, con m´as precisi´on, posee una licencia de c´odigo abierto denominadaPython
Software Foundation License, y que es compatible con la Licencia P´ublica General
de GNU a partir de la versi´on 2.1.1, e incompatible en ciertas versiones anteriores;
2) Est´a disponible para las principales plataformas (Linux, MS-Windows, Mac OS y
otras), y las nuevas versiones son lanzadas simult´aneamente;
3) Tiene diversos entornos integrados para el desarrollo, de cuales mencionamos elidle;
4) La distribuci´on oficial incluye una amplia variedad de extensiones (denominadas
m´odulos);
5) No obstante, hay bastante incompatibilidad entre las versiones 2.x y las 3.x. Todos
los demos en el curso asumen versiones de Python 3.x.
La c´atedra dispone de demos completos autocontenidos para aquellos interesados en experimentar en la computadora.
1.1.6. Negaci´on

Definici´on 5. Sea p unaproposici´on. El enunciado “no se cumple p” es otra proposici´on
llamada la negaci´on de p. Notaci´on: la negaci´on de p se denota con ¬p y se lee “no p”.
La TV de la negaci´on es la dada en la Tabla 1.1.
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CAPITULO
1. LOGICA

1.1. PROPOSICIONES

p ¬p
F T
T F
Tabla 1.1: Negaci´
on

(not).

1.1.7. Conjunci´on

Definici´on 6. Sean p y q proposiciones. La proposici´on compuesta “p y q” es la...