L Gica Proposicional

Capítulo 1

Lógica Proposicional.
1.1.

Nota Preliminar.

Nos proponemos estudiar lógica.
Por qué la lógica.
La Lógica en el currículum.
Lógica Matemática.
La Lógica Matemática es enteramente simbólica, usa signos arti…ciales para
convertir la argumentación en una suerte de cálculo al estilo algebraico; las reglas
de las operaciones que se realiza se re…eren a la forma de los signos(arti…ciales)
y no a su sentido.
Vamos a estudiar la lógica Matemática en varias partes o niveles de lenguaje:
En el primer capítulo, veremos Lógica Proposicional.
En el capítulo 2, estudiaremos los Cuanti…cadores.
El capítulo 3 está destinado a la llamada Teoría de Conjuntos.
Para mayor comodidad y mejor comprensión, la aproximación que utilizaremos se basará en los llamados valores de verdad.
Plan delestudio.
En primer lugar hacemos una descripción de los elementos que constituyen
la Lógica Proposicional: los símbolos, las proposiciones y su clasi…cación.
En segundo término estudiamos las tautologías fundamentales.
En tercer lugar analizamos los diversos métodos de demostración que se usa
en la Lógica y en la Matemática.
Al …nal estudiamos lo que se llama el álgebra de proposiciones, es decir, cómo
semanipula las proposiciones en un cálculo simbólico.
1

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CAPÍTULO 1. LÓGICA PROPOSICIONAL.

1.2.

Descripción básica.

En esta sección, escribiremos con todo detalle las de…niciones y los símbolos
básicos que utilizaremos. Lo más importante está resumido en la tabla general
al …nal de la sección.

1.2.1.

Proposiciones.

Entenderemos por proposición una expresión acerca de la cual tienesentido
preguntarse si es verdadera o falsa.
Una proposición, entonces, corresponde, en español, a oraciones, esto es frases completas.
Ejemplo 1 A manera de ilustración:
1. (En español)
a) El gato es café es una proposición, pero
b) el gato café desdeñoso y cobarde no lo es
–a la segunda expresión le falta un verbo–.
2. (Simbólicamente)
a) Son proposiciones expresiones tales como
p
2 = 5; 4 + 7 < 5; ` ?`0 ; la recta ` pasa por el punto P ;
p
4
b) sin embargo, 3 8 + ; 31
(5 2) y similares
4
no son proposiciones, pues no hay a…rmación,
–no tiene sentido preguntarse acerca de su veracidad o falsedad–.
Observación 2 Más adelante se estudiará el caso de expresiones abiertas, del
tipo x + 3 = 5; que no son proposiciones –allí, x es una especie de espacio en
blanco; sólo si se reemplaza x por unnúmero, da una proposición, verdadera o
falsa de acuerdo al número en cuestión–.

1.2.2.

Simbología.

Los símbolos básicos que se utilizará son:
Notación 3 Las letras minúsculas p; q; r; : : : para denotar proposiciones;
los conectivos ; ^; _; ); ,; Y; cuyo uso se detalla a continuación,
y los paréntesis (: : :) ; y [: : :] ; para separar expresiones.
Usaremos además el símbolo informal " : " parade…nir proposiciones especí…cas.
Ejemplo 4 Así, p : 2 > 5
indica que la proposición p es la a…rmación de que 2 es mayor que 5

1.2. DESCRIPCIÓN BÁSICA.

1.2.3.

3

Comentario.

Según se describe a continuación, si p es una proposición y q es una proposición, entonces sólo son proposiciones las expresiones que se construye con los
conectivos:
p; p ^ q; p _ q; p ) q; p , q; p Y q;
son proposiciones.
Estosigni…ca que, por ejemplo,
((p ^ q) ^ r) ) (r , q) es una proposición,

pero no lo son p^ , q; ni pq; ni p + q; etc.

1.2.4.

Tablas de verdad.

Para evitar ambigüedades, de…niremos el uso de los símbolos mediante tablas
de verdad.
Dichas tablas establecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad (V; ”verdadero”, y F; ”falso”), de las proposiciones que constituyen las
expresiones quese de…ne (o que se analiza, según se verá más adelante).

1.2.5.

Los conectivos.

Negación.
De…nición 5
p
V
F

p
F
V

Observación 6 (En español:) Es decir, p es una proposición que es falsa cuando p es verdadera, y verdadera cada vez que p es falsa.
(p se escribe también, a veces, s p):
p se lee ”no p":
Ejemplo 7 Si p : voy al cine, entonces su negación es
p : no voy al cine.
Simple, pero...