L mites funciones e integrales

Capítulo 1

Funciones y Límites
1.1.

Conjuntos

1.1.1.

Definición y conjuntos especiales

Definición 1.1 (Conjunto). Es una colección de objectos.
En Matemáticas los objetos son usualmente números. Un conjunto se representa por una letra mayúscula;
sus elementos pueden anotarse de forma explícita indicando el nombre, un signo igual y entre un par de llaves
los elementos que lo forman.Alternativamente, se puede indcar de forma abreviada quiénes son elementos del
conjunto en cuestión.
Ejemplo 1. Suponga que A es un conjunto y que a es un elemento de A; entonces anotamos
a∈A
y decimos que ”a es elemento de A” o que ”a pertenece al conjunto A”.
Ejemplo 2. Si A tiene elementos 1, 3, 5, 7 y 9, entonces la representación explícita de A es:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
Si B consta de los números realesmayores que tres, lo representamos en forma abreviada:
B = {b | 3 < b < ∞}
y leemos ”el conjunto B consta de elementos b tales que son mayores que 3 y menores que infinito”.
Nota. La barra vertical | anotada dentro del par de llaves sirve para indicar qué propiedades (anotadas la
derecha de esta) tienen los elementos que están a su izquierda; usualmente se lee como "tal que".

Definición 1.2(Algunos conjuntos especiales). Los siguientes son conjuntos que aprecen frecuentemente en
la discusión:
1. N = {1, 2, 3, · · · } (Naturales)
1

2
2. N0 = {0, 1, 2, 3, · · · } (Enteros positivos)
3. Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } (Enteros)
4. Q = {q | q = m/n;
5. I = {x | x

m, n ∈ Z} (Racionales)

Q}, (Irracionales)

6. R = {y | y es un número real} (Reales)

Definición 1.3(Subconjunto). Sean A y B dos conjuntos. Si cada elemento de A pertenece también a B, es
decir
a∈A⇒a∈B
se dirá que A es subconjunto de B y se anotará
A⊂B
o bien
B ⊃ A.

Definición 1.4 (Conjuntos iguales). Se dirá que los conjuntos A y B son iguales, anotado como
A=B
si se cumple que A ⊂ B y también B ⊂ A.
Observaciones.
1. Las negaciones de a ∈ A, A ⊂ B y A = B se escriben como
a

A,

A

B,

y

A

Brespectivamente.
2. Si se desea mostrar que dos conjuntos, digamos A y B, son iguales lo que se hace es mostrar que A ⊂ B
y B ⊂ A. Si ambas condiciones no se cumplen, los conjuntos no son iguales.
Observaciones.
1. Supondremos que siempre, excepto cuando se indique lo contrario, los conjuntos con que se trabaja son
subconjuntos de uno de referencia al que llamamos Conjunto Universal y representamos porU.
2. También consideramos el Conjunto Vacío que es el que no tiene elementos y representamos por ∅.
3. Para cualquier conjunto A, siempre ∅ ⊂ A y así
∅ ⊂ A ⊂ U.
Dr. Carlos L. Cíntora González
Matemáticas, Otoño 2014

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Definición 1.5 (Intervalo). Algunos conjuntos de interés al tratar con los números reales son los siguientes.
Suponga que a, b ∈ R y a < b. Entonces
{x | a < x < b} se llamaintervalo abierto con extremos a y b
{x | a ≤ x ≤ b} se llama intervalo cerrado con extremos a y b
{x | a ≤ x < b} se llama intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha con extremos a y b
{x | a < x ≤ b} se llama intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha con extremos a y b

1.1.2.

Operaciones con conjuntos

Definición 1.6 (Unión). Sean A y B dos conjuntos. La unión deA y B se representa por A ∪ B y se define
como el conjunto qe contiene elementos que están en A, en B o en ambos; en símbolos:
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B.}

Definición 1.7 (Intersección). Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A y B se representa por A ∩ B
y se define como el conjunto de elementos que se encuentran tanto en A como en B:
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B.}

Definición 1.8(Diferencia). Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se representa por A − B, o a
veces como A\B, y se define como el conjunto
A − B = {x | x ∈ A, x

B},

es decir consta de los elementos que sí están en A pero no están en B.
Definición 1.9 (Conjuntos disjuntos). Se dirá que A y B son conjuntos disjuntos si ocurre que no tienen
elementos en común, es decir si
A ∩ B = ∅.

Definición 1.10...