L MITES3

 LÍMITES
1. LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN CUANDO X TIENDE A UN NÚMERO

Ejemplo 1. Consideramos la función
Si, por ejemplo, sustituimos x por 1,99 , ¿cuál será aproximadamente el resultado? ¿y si sustituimos x por 2,01?
Evidentemente, si sustituimos x por un número próximo a 2, el resultado (la imagen de ese número) se aproxima a (que es la imagen de 2).
Además, cuanto más se aproxime x a2, más se aproximará su imagen a 5.
Por ello se dice que el límite de la función f cuando x tiende a 2 es 5 .
Se escribe
El límite es un concepto que aparece cuando pretendemos conocer no la imagen de un número concreto, sino cómo serán las imágenes cuando x se aproxima a ese número. En el ejemplo anterior se trata de un problema trivial, pero no siempre es así, como vemos en el ejemplosiguiente.
Ejemplo 2. Consideramos ahora la función y supongamos que ahora nos interesa saber cómo son las imágenes de números próximos a 0.
En este caso no podemos recurrir a la imagen de 0 porque no existe. Por ello tiene realmente sentido plantearse cuál es el límite.
Podemos tener una primera idea del valor del límite dando a x valores próximos a 0 y calculando su imagen:
Para x = 0,1Para x = 0,01
Para x = -0,1 Para x = - 0,01
¿A qué valor parece que se van aproximando las imágenes, cuando x se aproxima a 0?
¿Cuál parece ser, por lo tanto, el valor del límite de esta función cuando x tiende a 0?
Más adelante aprenderemos procedimientos para calcular límites de funciones como ésta, de forma rápida y rigurosa. Como esteejemplo es relativamente sencillo, podemos adelantar como se calcularía en este caso.
. Ahora podemos afirmar que el límite es 1 como habíamos intuido.

1.1. DEFINICIÓN
Cuando hablamos del límite de una función cuando x tiende a un número x 0 , debemos pensar en el número al que se aproximan las imágenes de números próximos a x 0 .
Para tener una definición rigurosa habría que añadir que lasimágenes se han de aproximar tanto como queramos al límite.
Así, en el ejemplo 2, si quisiéramos que las imágenes se diferenciaran de 1 en una milésima o menos como 1,001, bastaría tomar x tan próximo a 0 como 0,001. De forma similar se podría conseguir que las imágenes se aproximaran tanto como quisiéramos a 1 y por ello el límite es 1.
Una definición rigurosa, aunque enunciada en términossencillos, puede ser la siguiente:
El límite de un función f , cuando x tiende a un número x 0 , es el número L si, tomando x suficientemente próximo a x 0 , podemos conseguir que las imágenes se aproximen tanto como queramos a L.
En la definición debería quedar claro además que, para que el límite sea el número L, no importa qué ocurre con la imagen de x 0 (puede no tener ninguna relacióncon el límite o incluso no existir). Es decir, el límite nos informa sobre las imágenes de números próximos a x 0 , pero no sobre la imagen de x 0 .

5 f(x)=x2+1 L f 1 L f2 X 0 0X 0


1.2. LÍMITES LATERALES
Ejemplo 3. Vamos a considerar la función “parte entera” E(x), que asigna a cada número escrito en forma decimal su parte entera. (Por ejemplo, la parte entera de 3,45 es 3, la parte entera de 0,72 es 0, la parte entera de -3,28 es -4 ).
Si observamos la gráfica vemos que: - La parte entera de 1,9 ó la de 1,99 es 1...