L^hospital

Regla de L′Hôpital

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egla de L´Hôpital. Esta regla es un teorema que lleva el nombre del matemático francés Guillaume Francois Antoine de L´Hôpital ( marqués de L´Hôpital. En francés antiguo L´Hôspital ), nacido en 1661. La regla de L´Hôpital fue publicada originalmente en el año de 1696 en un manuscrito, considerado el primer libro cálculo diferencial de la historia de lamatemática: Analyse des Infiniment pettis ( Analisis de lo infinitamente pequeño ), el cual gozó de gran reputación durante varios años. L´Hôpital fue discípulo de Gottfried Leibniz ( 1646 - 1716 ) y del matemático suizo Johann Bernoulli ( 1667 - 1748 ). Después de la muerte de L´Hôpital ( París, 1704), en varias de sus coorrespondencias a sus colegas, Bernoulli acusó a L´Hôpital de plagio de muchos de susresultados. En la historia se relata que la regla de L´Hôpital fue descubierta por Bernoulli en el año 1694, pero que debido un pacto que realizaron L´Hôpital y Bernoulli, el primero compró los derechos sobres los descubrimientos de Bernoulli, razón del nombre Guillaume L´Hôpital de la regla. Es así que se piensa que muchos de los resultados escritos por L´Hôpital en su libro, en realidad eranfruto de las investigaciones de Bernoulli. La regla de L´Hôpital que quizas debería de llamarse hoy día de Bernoulli o en todo caso de Bernoulli-L´Hôpital es un resultado que permite calcular el límite de un cociente de funciones que tienden a cero en las proximidades de un punto. Para ilustrar la regla, L´Hôpital usó el siguiente ejemplo
lím

R

2a 3x − x4 − a 3 a 2 x a −
4

x →a

ax 3

,donde a es un número positivo.

Estas notas sustituyen las páginas 209 −216 del texto de Cálculo I (700) y con las mismas se pretende superar las deficiencias del texto en cuanto al tema conocido como Regla de L′Hôpital. Hemos hecho un material de orden más teórico y práctico que el existente y pretendemos aclararte las dudas que pudieras tener al estudiar este tópico. Cualquier sugerencia uobservación hazla llegar al Área de Matemática a través de tu Asesor o vía correo electrónico (serivas@cantv.net) ¡ Gracias ! En el curso de Matemática II y en el primer módulo del curso de Cálculo I estudiamos límites que no podemos calcular directamente y que son conocidos como indeterminaciones.

Regla de L′Hôpital

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Las distintas indeterminaciones son representadas a travésde los símbolos:

0 0
Ahora bien

,

∞ , ∞ − ∞ , 0∞ , 00 , ∞0 , 1∞ ∞

Tipos de Indeterminaciones

¿ qué queremos decir cuando nos referimos a alguna de estas indeterminaciones ?

?

Al iniciarnos en el cálculo de límites se presentan varios problemas, como es el caso, por f(x) , donde ejemplo, al calcular un límite del tipo lím x →a g(x)
x →a

lím f(x) = 0 y lím g(x) = 0
x →a(1)

.

Este tipo de límites es lo que se conoce como una indeterminación del tipo 0/0.

De igual manera al referirnos a una indeterminación del tipo ∞0 estamos hablando de un límite del tipo lím f(x)g(x)
x →a

donde a∈IR y lím f(x) = +∞ y lím g(x) = 0.
x →a x →a

Observación

Al considerar las distintas indeterminaciones también podemos considerar límites laterales ( lím y lím ).Además también pudiera ocurrir que “a” sea igual a +∞ o −∞.
x →a − x →a +

En la siguiente tabla, hemos dejado algunos recuadros en blanco con el objeto de que completes la información faltante y la misma presentamos un resumen de los distintos tipos de indeterminaciones, indicando en la primera columna el tipo de indeterminación, en la segunda el significado y en la última ejemplos de laindeterminación.

(1)

Aquí f y g son funciones reales definidas en un subconjunto de IR y a es un punto límite o de acumulación del conjuto A.

Regla de L′Hôpital

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Tipos de Indeterminaciones Indeterminación
0 0

Tipo de límite

Ejemplos

x →a

f(x) x →a g(x) lím f(x) = 0 , lím g(x) = 0

lím

ex − 1 sen x , lím x →0 x →0 x x2
lím

x →a

∞ ∞

2x 2 − 1 Ln x ,...