Método de Runge-Kutta

Método de Runge-Kutta
Introducción
El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrolladoalrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de solucionesde ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
Sea

una ecuación diferencial ordinaria, con  donde  es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valorinicial de ƒ sea


Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
,
Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento  entre lossucesivos puntos  y . Los coeficientes  son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

Con  coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla decuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes  del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonalprincipal iguales a cero; es decir,  para, los esquemas son explícitos.
Ejemplo. Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en  y otra en . f(t,y(t)) en la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t,y) en  se usaun esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

De manera que se obtiene la expresión:

Los coeficientes propios de este esquema son: 
Variantes
Existen variantes delmétodo de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).
Esteúltimo consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.
Métodos...