M Dulo De Razonamiento L Gico

´ tica
Simbolog´ıa Matema
<
>
≤
≥
⊥
//
⊂
∀
⇒
⇔

es menor que
es mayor que
es menor o igual que
es mayor o igual que
es perpendicular a
es paralelo a
´ ngulo
a
contenido en
para todo
implica
si y solo si (doble implicancia)

=
=
≡
∼
∼
=
∈
∈
AB
∃
∪
∩

es igual a
es distinto de
es equivalente a
es semejante a
es congruente con
pertenece a
no pertenece a
trazo AB
existe
´ n entre conjuntos
unio
´ nentre conjuntos
interseccio

♣

Actividades

Y para nuestro libro. . .
♠
♦

Ejemplos
Observaciones

Parte I

Apuntes de Preparaci´
on para la
Prueba de Selecci´
on Universitaria
Matem´
atica

1

Cap´ıtulo 1

N´
umeros
unto con la historia de la humanidad, la historia de las matem´aticas y la numeraci´on a evolu-

J cionado optimiz´andose cada vez m´as. En muchas culturas distintas se realiz´o lanumeraci´on

de variados modos pero todos llegaban a una misma soluci´on, definir una unidad y aumentarla
en conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya exist´ıa una cantidad inc´omoda de representar se involucraba un nuevo s´ımbolo que representaba a todas las unidades anteriores, a ´este
u
´ltimo s´ımbolo se le conoce como base, y sin lugar a duda la base m´as usada ha sido la base de10, como lo hace el sitema de numeraci´on que ocupamos actualmente, aparentemente a causa
que tenemos 10 dedos y cada dedo representa una unidad y la manera m´as primitiva de contar.
Versi´
on 1.0, Junio de 2007

1.1.

Conjuntos

Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el t´ermino “conjunto”,
seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de alguna naturalezadeterminada.
Bueno, en matem´
aticas esta expresi´on no est´a para nada alejada de lo que tu entiendes por
un conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que aprenderemos son aquellos que est´
an
formados por nada m´
as ni nada menos que n´
umeros. Los n´
umeros son elementos fundamentales
en el estudio de las matem´
aticas, ya que gracias a ellos se pueden precisar o determinar exactamenterespuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es por esto que es tan importante
analizarlos, trabajarlos y lo que haremos en este cap´ıtulo, agruparlos.

1.1.1.

Subconjuntos

Los subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prefijo sub. que aparece delante nos
infiere que existe un conjunto m´
as grande del que estamos hablando. Uno en el cual nuestro
subconjunto esta contenido. Porejemplo; si queremos formar el conjunto formado por todas las
personas involucradas en nuestro preuniversitario, encontraremos en el a profesores, alumnos y
coordinadores, y un subconjunto de este ser´ıa el grupo de todos los profesores, ya que ´estos por
si solos forman un conjunto, pero ´este est´a contenido en el primer conjunto nombrado.

1.1.2.

Representaci´
on

Para representar un conjuntocualquiera, generalmente se usa una l´ınea que encierra a un
grupo de cosas, las cuales, forman el conjunto. Una manera an´aloga es ordenarlos, separados de
comas y entre par´entesis de llave ({})1 esta u
´ltima notaci´on es la que utilizaremos frecuentemente.
1

Ejemplo de un conjunto A={a,b,c,d,e}

3

´ meros
1. Nu

1.1.3.

Cardinalidad

Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, oaclarar si un conjunto
es m´as grande o no que otro, introducimos un t´ermino que llamamos cardinalidad, la cual
representamos por el s´ımbolo #, ´esta solo depende del n´
umero de objetos de nuestro conjunto.
Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la figura 1.1 es 4.

Figura 1.1: Conjunto de objetos

1.2.

Conjuntos Num´
ericos

Son todos aquellos conjuntos que est´
an formados por n´umeros, ´estos se dividen principalmente en:

1.2.1.

N´
umeros Naturales

Los n´
umeros naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por
el s´ımbolo N. Y sus elementos son:
N = {1, 2, 3, 4, . . . ∞}

Algunos subconjuntos de N son:
• Los n´
umeros pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ∞}, ´estos los podemos representar como
2n∀ n ∈ N
• Los n´
umeros impares = {1, 3, 5, 7, 9,...