M-estimación

azul

M-estimaci´n
o
´
Manuel Angel Maldonado Silva

Trabajo fin de Grado en Matem´ticas dirigido por
a
a
D Mar´ Dolores Jim´nez Gamero
ıa
e

Facultad de Matem´ticas
a
Universidad de Sevilla

Diciembre de 2012

´
Indice general
´
Indice general

3

Resumen

I

Summary

II

1. Optimalidad asint´tica
o
1.1. Estimadores asint´ticamente eficientes . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

1
1

2. Estimaci´n del par´metro de localizaci´n en poblaciones sim´tricas
o
a
o
e
2.1. Comparaci´n de estimadores cuando las muestras son grandes . . . . . . . . . . . . .
o
2.2. La mediana como un estimador de localizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.3. Medias truncadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

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8
10
17

3. M-estimaci´n
o
3.1. Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . .
3.2. Propiedades asint´ticas de los M-estimadores . . .
o
3.2.1. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Normalidad asint´tica . . . . . . . . . . .
o
3.3. M-estimadores de varios par´metros . . . . . . . .
a
3.4. La curva de sensibilidad y la funci´n deinfluencia
o
3.5. Aplicaci´n. El Estimador Huber . . . . . . . . . .
o

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A. Definiciones y Teoremas previos

33

B. C´lculos
a

37

Bibliograf´
ıa

39

3

Resumen
La mayor´ de los m´todos estad´
ıa
e
ısticos asumen que la poblaci´n que genera los datos satisface
o
ciertas hip´tesis. Ennumerosos casos, si tales hip´tesis no son ciertas las conclusiones del an´lisis
o
o
a
son falsas o distan bastante de las reales. Esto ha motivado el desarrollo de m´todos robustos, donde
e
por robustez se entiende que son poco sensibles frente a peque˜as variaciones en las hip´tesis.
n
o
En este trabajo nos centraremos en el problema de la estimaci´n puntual. Concretamente
oestudiaremos una clase de estimadores, denominados M-estimadores. La raz´n de estudiar esta clase
o
de estimadores es que son una clase muy amplia, que contiene como caso particular los estimadores
de m´xima verosimilitud (EMV), que fueron estudiados en la asignatura Inferencia Estad´
a
ıstica, y los
estimadores de m´
ınimos cuadrados (EMC), que fueron estudiados en la asignatura Modelos Linealesy Dise˜o de Experimentos. Los EMV tienen buenas propiedades de eficiencia, en el sentido de que,
n
bajo determinadas condiciones son asint´ticamente eficientes, es decir, su varianza es m´
o
ınima; pero
presentan el problema de que son muy sensibles a desviaciones de las hip´tesis iniciales, esto es,
o
son poco robustos. Veremos que modificando la funci´n objetivo a optimizar se puedenconseguir
o
estimadores que, aunque son menos eficientes que los EMV, son menos sensibles a desviaciones de
las hip´tesis asumidas sobre la poblaci´n.
o
o
La memoria est´ estructurada como sigue: En primer lugar estudiaremos la eficiencia asint´tica
a
o
de los EMV. Despu´s, y con el objetivo de motivar la necesidad de estimadores robustos, consideraree
mos el problema de la estimaci´n de unpar´metro de localizaci´n en poblaciones sim´tricas. Concreo
a
o
e
tamente estudiamos la media, la mediana y la media recortada, haciendo comparaciones asint´ticas
o
y para tama˜o de muestra finito. Finalmente se estudia la clase de M-estimadores. Estudiamos la
n
existencia, unicidad y normalidad asint´tica de estos estimadores. Tambi´n se demuestra que si la
o
e
funci´n a optimizar est´...