M{etodo de Heun

Método de Heun
Un método para mejorar la estimación de la pendiente involucra la determinación de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el final). Las dos derivadas sepromedian después con el fin de obtener una estimación mejorada de la pendiente para todo el intervalo. Este procedimiento, conocido como el método de Heun, se ilustra en forma gráfica en la figura25.9.
FIGURA 25.9
Ilustración gráfica del método de Heun. o) Predictor y b) corrector.

Recuerdo que en el método de Euler, la pendiente al inicio de un intervalo
y¡ = f(x¡, y,) (25.12) se usapara extrapolar linealmente a y ¡ + l .
y?+i=yi + f(xi,yi)h (25.13)
Para el método estándar de Euler deberemos parar aquí. Sin embargo, en el método de Heun l a y ; + 1 calculada en la ecuación(25.13) no es la respuesta final, sino una predic- ción intermedia. Es por esto que la distinguimos con un superíndice O. La ecuación (25.13) es llamada ecuaciónpredictor. Mejora una estimación de yi+lque permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo:
y'¡+1 =f(xi+í,y?+l) (25.14) Así, las dos pendientes [véase ecuaciones (25.12) y (25.14)] pueden combinarse con el
finde obtener una pendiente promedio para el intervalo: -, = y'¡+ y¡+i = /fe,y,) + /(x,+ 1 ,y,Qf l )
y
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Esta pendiente promedio se utiliza después para extrapolar linealmente desde y¡ hasta y¡+lusando el método de Euler:
, /(*;,y,)+ /(*,+), y°+ 1 ),
y¿+i = y; + 2
h
la cual es conocida como ecuación corrector. El método de Heun es un procedimiento
Todos los métodos multipaso que seanalizarán más tarde en el capítulo 26 son de este tipo. El método de Heun es el único método predictor-corrector de un solo paso que se describe en este
libro. Como se desarrolló antes, se puedeexpresar en forma concisa como Predictor (figura 25.9a): y°i+} = y, + f(X¡> y,)h
(25.15) (25.16)
Observe que como la ecuación (25.16) t i e n e y í + 1
puede aplicar en una forma iterativa. Esto es, una...