M TODO ALGEBRAICO

MÉTODO ALGEBRAICO
Definición
Como su nombre lo indica, el método usa como su principal herramienta, el álgebra, que ligada a un proceso de lógica matemática dio como resultado el método algebraico.
De acuerdo al el libro investigación de operaciones I de francisco Chediak, tenemos los siguientes pasos para resolver problemas de programación lineal por medio del método aquí citado:
Pasos paradesarrollar el método algebraico según Chediak:
1. Hallar una solución básica y factible (solución inicial)
a. Expresar las inecuaciones como ecuaciones.
b. Hallar una variable básica para cada ecuación
c. Organizar el sistema de ecuaciones lineales
2. Escoger la variable que entra.
3. Escoger la variable que sale.
4. Reorganizar el sistema de ecuaciones.
5. Repetir los pasos 2,3, y 4 hastaencontrar la solución.
Practica:
Introducción
Permite la solución de un problema de programación lineal cuando es necesario resolver casos de “n” variables y se trabaja con espacios n-dimensionales.
Los espacios vectoriales no tienen límite en cuanto al número de variables.
Para efectos de representación del problema, se parte de los siguientes supuestos:
El número de incógnitas es n
El número derestricciones es m
Por lo anterior, la función objetivo se representa de la siguiente forma:
F.O: Z=C1X1+C2X2+…+CnXn
Dónde: C1, C2…, Cn son los coeficientes de las incógnitas y por lo tanto datos conocidos.
Como se tienen m desigualdades es necesario agregar (m) variables de holgura, las cuales deben agregarse a la función objetivo.
Variable de holgura: Variable agregada al lado izquierdo de unarestricción de "menos o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.
EJEMPLO:
F.O: Maximizar Z = X1 + X2
S.A:
5X1 + 3X2 < 15
3X1 + 5X2 < 15
Xj > 0 ; j = 1, 2
PASO 1:
a) Expresar todas las inecuaciones como ecuaciones lineales, para ello y en éste caso usamos variables de relleno, tambiénllamadas de holgura, para igualar el lado izquierdo al lado derecho de la inecuación; así:
5X1 + 3X2 < 15
5X1 + 3X2 + X3 = 15
3X1 + 5X2 < 15
3X1 + 5X2 + X4 = 15

NOTA: Aquí X3 y X4 son las variables de holgura o relleno, que al adicionarlas al lado izquierdo, establecen la igualdad con el lado derecho de la inecuación lineal. Las variables X1 y X2 se denominan variables de decisión o variables reales,las variables de relleno o holgura, se usan para convertir una inecuación en una ecuación, esto es, igualar el lado izquierdo al lado derecho. Las variables de holgura o de relleno, se suman o restan al lado izquierdo de la inecuación, según convenga para establecer la igualdad.

b) Escoger en cada ecuación una variable que sirva como solución inicial al problema y que tome un valor positivo ( >0), NO son elegibles las variables de decisión o variables reales. Entonces, las variables de holgura o relleno, son las primeras opcionadas a ser escogidas como variables básicas y factibles, lo que significa que deben tomar un valor mayor o igual a cero ( > 0).
5X1 + 3X2 + X3 = 15
X1 = X2 = 0 , entonces
X3 = 15 , valor > 0
3X1 + 5X2 + X4 = 15
X1 = X2 = 0 , entonces
X4 = 15 , valor > 0

c)Organizamos el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
Ecuación 0= Z-X1-X2=0
Ecuación 1= 5x1+3x2+x3 =15
Ecuación 2= 3x1+5x2=15
En cada ecuación existe una y solo una variable básica con coeficiente ( 1 ), lo que permite leer su valor de manera automática al lado derecho; esto es:
Z = 0 X3 = 15 X4 = 15 Esto es una SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE.
Una listaclasificada de las variables es:
X1 = 0 Variable de decisión ó variable real; Variable no básica
X2 = 0 Variable de decisión ó variable real; Variable no básica
X3 = 15 Variable de holgura ó relleno; Variable básica
X4 = 15 Variable de holgura ó relleno; Variable básica
Z = 0 Variable de...