M todo de Diferencia hacia Adelante de Newton

República Bolivariana de Venezuela
Universidad de Oriente
Núcleo de Monagas
Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
Métodos Numéricos

Operadores en Diferencias

Bachilleres:

Profesora:
Yeisland
Rodríguez
Sección: 03

Ayala, Diannelis
Roca, Iván
Rodríguez, Jesús
Zilfo, Habib
Maturín, Diciembre de
2014

Operadores en Diferencias
Operadores en diferencias:



Operadores en diferencias haciaadelante
Operadores en diferencias hacia atrás



Potencias factoriales



Tablas de Diferencias



Método de Diferencias hacia delante de Newton

Operadores en Diferencias
Supongamos
una función real de variable real f(x) que toma


 

valores discretos en “x” y en puntos de la recta real situados
a distancia del múltiplo de un intervalo h constante: x, x+h,
x+2h, ..., x+nh, .... esto tomalos valores:
f (x), f (x + h), f (x + 2h), ..., f (x + nh), ...
Se definen las diferencias entre valores consecutivos de la
función de la forma siguiente:


Diferencia progresiva: f (x + h) f(x)



Diferencia regresiva: f (x) f (x h)



Diferencia centralizada: f f

Operadores en Diferencias
Se
 definen los siguientes operadores para las diferencias:

 



Operador diferencia progresiva: Δf(x) = f (x + h) f (x)



Operador diferencia regresiva: ∇f ( x) = f ( x) f (x + h)



Operador diferencia central: ◊f (x) = f − f

Es útil, además, para realizar operaciones, considerar los
operadores siguiente e identidad:


Operador siguiente: Sf (x) = f (x + h)



Operador identidad: If (x) = f (x)

Operadores en Diferencias
Se
 pueden generalizar estas expresiones para la

 

aplicaciónreiterada de cada operador:


Operador de k-ésima diferencia progresiva:

f (x) = f(x + h) f (x)


Operador de k-ésima diferencia regresiva:

f (x) = f(x) f(x h)


f (x) = f (x)

f (x) = f (x)

Operador de k-ésima diferencia centralizada:
f (x) = f (x)

Operadores en Diferencias
siguiente:
Operador
 



Operador identidad:

Polinomios de Interpolación de
Newton
divididas:
Diferencias
 

Los métodos para determinar la representación explícita de un
polinomio interpolante a partir de datos tabulados se conocen
como métodos de diferencia dividida. Los métodos pueden usarse
también para derivar técnicas para aproximar las derivadas y las
integrales de funciones, así como para aproximar las soluciones
de ecuaciones diferenciales.
Supongamos que es el polinomio de Lagrange de grado alo más
n que coincide con la función f en los números distintos
diferencias divididas de f con respecto a
demostrando

que

tiene

constantes apropiadas .

la

. Las

se pueden derivar

representación

(x)=(-)(()

con

Polinomios de Interpolación de
Newton
Cuando se evalúa en , los únicos términos distintos de cero en la

 

evaluación de son la constante y el término lineal:

Pn ( x1 ) a0  a1( x1  x0 )
f ( x1 )  f ( x0 )  a1 ( x1  x0 )
Así que:

f ( x1 )  f ( x 0 )
a1 
x1  x 0

Aquí introducimos lo que se conoce como notación de diferencia
dividida. La diferencia dividida cero de la función f, con respecto a ,
se denota por y es simplemente la evaluación de f en .

f [ xi ]  f ( xi )

Polinomios de Interpolación de
Newton
Las
diferencias divididas restantes se defineninductivamente;

la primera diferencia dividida de f con respecto a y se denota
por f [ x , x
] y está definida como:

 

i

i 1

f [ xi 1 ]  f [ xi ] (a)
f [ xi , xi 1 ] 
xi 1  xi
Cuando las diferencias divididas:

f [ xi , xi 1 , xi 2 ,..., xi k  1 ]

y

f [ xi 1 , xi 2 ,..., xi k  1 , xi k ]

han sido determinadas, la k-ésima diferencia dividida de f
relativa a está dada por:

f [ xi1 , xi 2 ,..., xi k  1 , xi k ]  f [ xi , xi 1 , xi 2 ,..., xi k  1 ]
f [ xi , xi 1 ,..., xi k  1 , xi k ] 
xi k  xi

Polinomios de Interpolación de
Newton
 

Con esta notación, la ecuación
a1 
reexpresada
como

a1  f [ x 0 , x1 ]

f ( x1 )  f ( x0 )
x1  x0

puede ser

y el polinomio interpolante en la ecuación:

Pn ( x) a 0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 ) ( x  x1 ) ...