M Todos Directos Y Matriz Inversa
Páginas: 15 (3732 palabras)
Publicado: 5 de junio de 2015
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela de Ingeniería en Electrónica
CM3201 Métodos Numéricos Grupos 9 y 10, II semestre 2005
Prof. Marvin Hernández C.
Ecuaciones Lineales
Eliminación de Gauss
En esta sección se analizan varios métodos para resolver las ecuaciones algebraicas lineales simultáneas que se representan como:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2
.
.an1x1+an2x2+...+annxn=bn
Solución de sistemas pequeños de ecuaciones
A continuación se describirán algunos métodos que son apropiados en la solución de pequeños sistemas de ecuaciones simultáneas (n 3) que no requieren de computadora.
Método gráfico
Para dos ecuaciones se puede obtener una solución al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro a x2.
a11x1 + a12x2 =b1
a21x1 + a22x2 = b2
En ambas ecuaciones se despeja x2:
Ahora éstas ecuaciones están en la forma de líneas rectas y se pueden graficar.
Ejemplo:
Resuelva
3x1 + 2x2 = 18
-x1 + 2x2 = 2
despejando x2 para ambas ecuaciones se tiene
Determinantes y la regla de Cramer
Un sistema de tres ecuaciones lineales se puede denotar como:
AX = B
donde A es la matriz decoeficientes:
El determinante D de este sistema se forma a partir de los coeficientes del sistema:
el determinante que es un simple valor se calcula así:
Regla de Cramer
Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones se puede despejar de la siguiente forma:
Ejemplo:
Utilice la regla de Cramer para resolver:
0.3x1 +0.52x2 + x3= -0.01
0.5x1 +x2 + 1.9x3= 0.67
0.1x1+0.3x2 + 0.5x3= -0.44
Solución.
D = -0.0022
Usando la Regla de Cramer
La eliminación de incógnitas
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
La estrategia consiste en multiplicar ambas ecuaciones por constantes, de tal forma que se elimine una de las incógnitas cuando se combinen las ecuaciones.
a11a21x1 + a12 a21x2 = b1 a21
a21a11x1 + a22 a11x2 =b2 a11
Se sustituye una ecuación en la otra para que quede en términos de una sola variable.
a22 a11x2- a12 a21x2 = b2 a11 - b1 a21
despejando x2
Ahora se puede sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales para despejar x1.
Eliminación de Gauss simple
Es una técnica sistemática de eliminación hacia delante y sustitución hacia atrás. Puede ser utilizada como algoritmo paraautomatizarla (por computadora), pero no es muy efectivo.
El método está ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones de esta forma:
Eliminación hacia delante
Consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior, en otras palabras eliminar los términos X1 (desde la segunda hasta la n-ésima ecuación), luego los términos X2 (desde la tercera en adelante) yasí sucesivamente.
La primera ecuación que se tiene y que es con la que se trabaja se le llama ecuación pivote y el primer término se le llama coeficiente o elemento pivote.
Obteniendo finalmente un sistema triangular de esta forma:
Sustitución hacia atrás
De la última ecuación anterior se despeja xn:
Por tanto, en forma general se tiene que
:
para i=n-1, n-2, …, 1
Ejemplo:
Dado
La primera parte es la eliminación hacia delante, así que se toma (1.1) y se multiplica por 0.1/3 y el resultado se le resta a (1.2) para así obtener:
De esta forma se elimina la variable x1.
Después se multiplica (1.1) por 0.3/3 y se resta de la ecuación (1.3). Luego de efectuar estas operaciones, el sistema de ecuaciones es
De la misma forma se hace laeliminación de x2, en la ecuación (1.6), para obtener un sistema triangular superior. Para esto se multiplica la ecuación (1.5) (que es la nueva ecuación pivote), por
- 0.1900/7.003 y se le resta el resultado a (1.6), esto da por resultado
Ahora se hace la sustitución hacia atrás empezando por la última del sistema, donde se despeja x3:
este resultado se sustituye en (1.8) donde...
Escuela de Ingeniería en Electrónica
CM3201 Métodos Numéricos Grupos 9 y 10, II semestre 2005
Prof. Marvin Hernández C.
Ecuaciones Lineales
Eliminación de Gauss
En esta sección se analizan varios métodos para resolver las ecuaciones algebraicas lineales simultáneas que se representan como:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2
.
.an1x1+an2x2+...+annxn=bn
Solución de sistemas pequeños de ecuaciones
A continuación se describirán algunos métodos que son apropiados en la solución de pequeños sistemas de ecuaciones simultáneas (n 3) que no requieren de computadora.
Método gráfico
Para dos ecuaciones se puede obtener una solución al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro a x2.
a11x1 + a12x2 =b1
a21x1 + a22x2 = b2
En ambas ecuaciones se despeja x2:
Ahora éstas ecuaciones están en la forma de líneas rectas y se pueden graficar.
Ejemplo:
Resuelva
3x1 + 2x2 = 18
-x1 + 2x2 = 2
despejando x2 para ambas ecuaciones se tiene
Determinantes y la regla de Cramer
Un sistema de tres ecuaciones lineales se puede denotar como:
AX = B
donde A es la matriz decoeficientes:
El determinante D de este sistema se forma a partir de los coeficientes del sistema:
el determinante que es un simple valor se calcula así:
Regla de Cramer
Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones se puede despejar de la siguiente forma:
Ejemplo:
Utilice la regla de Cramer para resolver:
0.3x1 +0.52x2 + x3= -0.01
0.5x1 +x2 + 1.9x3= 0.67
0.1x1+0.3x2 + 0.5x3= -0.44
Solución.
D = -0.0022
Usando la Regla de Cramer
La eliminación de incógnitas
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
La estrategia consiste en multiplicar ambas ecuaciones por constantes, de tal forma que se elimine una de las incógnitas cuando se combinen las ecuaciones.
a11a21x1 + a12 a21x2 = b1 a21
a21a11x1 + a22 a11x2 =b2 a11
Se sustituye una ecuación en la otra para que quede en términos de una sola variable.
a22 a11x2- a12 a21x2 = b2 a11 - b1 a21
despejando x2
Ahora se puede sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales para despejar x1.
Eliminación de Gauss simple
Es una técnica sistemática de eliminación hacia delante y sustitución hacia atrás. Puede ser utilizada como algoritmo paraautomatizarla (por computadora), pero no es muy efectivo.
El método está ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones de esta forma:
Eliminación hacia delante
Consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior, en otras palabras eliminar los términos X1 (desde la segunda hasta la n-ésima ecuación), luego los términos X2 (desde la tercera en adelante) yasí sucesivamente.
La primera ecuación que se tiene y que es con la que se trabaja se le llama ecuación pivote y el primer término se le llama coeficiente o elemento pivote.
Obteniendo finalmente un sistema triangular de esta forma:
Sustitución hacia atrás
De la última ecuación anterior se despeja xn:
Por tanto, en forma general se tiene que
:
para i=n-1, n-2, …, 1
Ejemplo:
Dado
La primera parte es la eliminación hacia delante, así que se toma (1.1) y se multiplica por 0.1/3 y el resultado se le resta a (1.2) para así obtener:
De esta forma se elimina la variable x1.
Después se multiplica (1.1) por 0.3/3 y se resta de la ecuación (1.3). Luego de efectuar estas operaciones, el sistema de ecuaciones es
De la misma forma se hace laeliminación de x2, en la ecuación (1.6), para obtener un sistema triangular superior. Para esto se multiplica la ecuación (1.5) (que es la nueva ecuación pivote), por
- 0.1900/7.003 y se le resta el resultado a (1.6), esto da por resultado
Ahora se hace la sustitución hacia atrás empezando por la última del sistema, donde se despeja x3:
este resultado se sustituye en (1.8) donde...
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