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Método de Runge-Kutta


En esta sección vamos a estudiar la aplicación del método de Runge-Kutta a:
Una ecuación diferencial de primer orden
Un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación diferencial de segundo orden
Un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuación diferencial de primer orden
Sea una ecuación diferencial de primer orden, con lacondición inicial de que en el instante t0 el valor inicial de xes x0
Se elige una anchura de paso h y se calculan cuatro números k1, k2, k3, k4 de acuerdo con el procedimiento esquematizado en la tabla adjunta. Según el procedimiento ordinario de Runge-Kutta, a partir del valor de x en el instante t se determina el valor de x en el instante t+h mediante la fórmula que figura en la última fila de dichatabla.

Definimos la función rk_1 que resuelve la ecuación diferencial de primer orden, cuando le pasamos:
la función f(t,x),
la condición inicial de que en el instante t0el valor inicial es x0,
el instante final tf
el número de pasos de integración n comprendidos entre el instante inicial t0 y final tf.
Y nos devolverá un vector t y su correspondiente vector x.

Ejemplo:
Considérese el circuitoen serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito.


2. Fije las condiciones iniciales, en el instante inicial t=0, el condensador está descargado x=0.
3. Defina lafunción f(t,x),
4. Llame al procedimiento numérico rk_1
5. Mediante el comando plot realice una representación gráfica de la solución numérica
6. Realice una representación gráfica de la solución exacta

Ejemplo: R=2.0, C=0.8, y tf=10.



En la ventana de comandos corremos el script carga



No se aprecia diferencia entre la solución exacta y la numérica, aplicando el procedimiento de Runge_Kutta.Sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden
El procedimiento de Runge-Kutta es igualmente efectivo en la resolución de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.

El procedimiento de aplicación del método de Runge-Kutta a cada una de las ecuaciones diferenciales, con las condición inicial siguiente, en el instante t0
el valor inicial de x es x0
el valor inicialde y es y0
se esquematiza en la tabla adjunta. Como vemos además de los cuatro números  k1, k2, k3, k4 para la primera ecuación diferencial precisamos otros cuatro números l1, l2, l3, l4 para la segunda ecuación diferencial. A partir del valor de x en el instante t, se determina el valor de x en el instante t+h, y a partir del valor de y en el instante t se determina el valor de y en el instante t+h mediantelas fórmulas de la última fila de la tabla.

Definimos la función rk_2_1 que resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, cuando le pasamos:
las funciones f (t,x,y) y g(t,x,y)
las condiciones iniciales (x0,y0) en el instante t0
el número n de pasos de integración entre t0 y el tiempo final tf
Nos devuelve los vectores x e y para cada instante que se guarda en elvector t comprendido entre el instante inicial t0 y el final tf.

Consideremos una serie radioactiva de tres elementos A-->B-->C en la que, una sustancia radiactiva A se desintegra y se transforma en otra sustancia radiactiva B, que a su vez se desintegra y se transforma en una sustancia C estable. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el proceso y sus soluciones analíticas son, respectivamente,

Lasolución analítica que aparece a la derecha, se ha obtenido con las condiciones iniciales t=0, x=x0 e y=0. La segunda solución se obtiene siempre que a sea distinto de b. En el caso de que a sea igual a b, la solución analítica para y es
y=x0aexp(−at)
La interpretación del sistema de ecuaciones diferenciales no es complicada. En la unidad de tiempo, desaparecen ax núcleos de la sustancia A al...