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METODO DE GAUSS

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos filas son iguales.
Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinación lineal de otras.

CRITERIOS DE EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DEECUACIONES
1. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema de otra ecuación del mismo sistema, el sistemaresultante es equivalente al dado.
4. Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
5. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incognitas, resulta otro sistema equivalente.

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El método de Gauss consiste enutilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.


1. Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de: 1 o -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2. Hacemos reducción con la 1° y 2° ecuación, para eliminar el término en x de la 2° ecuación. Despuésponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E’2 = E2 – 3E1

3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1° y 3° ecuación, para eliminar el término en x.
E’3 = E3 – 5E1




4. Tomamos las ecuaciones 2° y 3°, transformadas, para hacer reducción y eliminar el termino en y.
E’’3 = E’3 – 2E’2

5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6. Encontrar las soluciones
z = 1
-y + 4 . 1 = -2 y= 6
x + 6 – 1 = 1 x = -4





Descomposición LU

[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal.
[U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.

El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

Pasos paraencontrar la matriz triangular superior [U]
1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por elpivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). Esto es:
- factor * pivote + posición a cambiar

Pasos para encontrar la matriz triangular inferior [L]
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utilizael mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.
Esquemáticamente se busca lo siguiente:
  
Originalmente se tenía:


Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:




Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax =LUx = b.






Gauss Seidel
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

donde:

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración (K+1)

donde

definimos

y
,...