M Ximos Y M Nimos De Funciones De Varias Variables

Máximos y mínimos de funciones de varias variables.

1. Estudio de los puntos críticos
Se definen puntos críticos como los puntos en los que el gradiente de la función se anula.
Definición 1. Sea A⊆ Rn un conjunto abierto y f: A → R una función con derivadas segundas continúas en A. El punto P0 = (x01…x0n) es un punto crítico de f si:

Todas las derivadas parciales de primer orden de f seanulan en P0.
1.1 Máximos y mínimos
Se puede demostrar que los máximos y mínimos de una función son puntos críticos si se alcanzan en puntos interiores (también pueden ser máximos y mínimos puntos en lafrontera, pero entonces no son necesariamente críticos).
Definición 2. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f: A → R una función con derivadas parciales de segundo orden continuas en A; se dice que unpunto P0 = (x01…x0n) es, para la función f:
Máximo absoluto
Si, para cada otro punto P = (x1…xn)Є A: f(x01…x0n) ≥f(x1…xn)
Mínimo absoluto
Si, para cada otro punto P = (x1…xn)Є A: f(x01…x0n) ≤f(x1…xn)Máximo relativo
Si existe un entorno B de P0 tal que, para cada otro punto P = (x1…xn)Є B: f(x01…x0n) ≥f(x1…xn)
Mínimo relativo
Si existe un entorno B de P0 tal que, para cada otro punto P = (x1…xn)Є B:f(x01…x0n) ≤f(x1…xn)
Silla
Si es siempre posible encontrar dos puntos P1=(x11…x1n) y P2=(x21…x2n) en un entorno B de P0 tal que: f(x11…x1n) ≤f(x01…x0n) ≤f(x21…x2n).

1.2 Matriz Hessiana ydefinición de máximos mínimos
Una manera de decidir los puntos críticos son máximos, mínimo o puntos silla para una función está basada en el estudio de las derivadas segundas u en particular de la matrizhessiana.
Definición 3. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f: A → R una función con derivadas segundas continúas en A. se define la matriz hessiana de f, en cada punto, como la siguiente matriz n x n:


1.3Caso con derivadas
En el caso de funciones de dos variables, el signo de los valores propios de la matriz hessiana (que es simétrica) permite decidir si un punto es un máximo relativo, un mínimo...