M Ximos Y M Nimos


1.-Determine donde f(x)=x3-6x2+9x+1 es cóncava hacia arriba, hacia abajo y su punto de inflexión.
  =n u=x ; n=3=0
=w v=x ; w=2=h

  
  f(x)=x3-6x2+9x+1 
 
 
     f'(x)=3x2-12x+9
 
f'(x)=0Puntos criticos
 
 
3x2-12x+9=0
 
3x2-12x+9= x2-4x+3
 
  x2-4x+3= (x-3)(x-1)
 
 
3x2-12x+9=-------> (x-3)(x-1)=0
 
 
esto es cierto para x=3 y x=1
 
 
Numeros criticos x=3 y x=1
 
 
 
 f''(x)=6x-12
 
 
evaluando x=3 en f''(x); tenemos:
 
 
f''(3)=6(3)-12=18-12=6
 
 
 
f(3)=(3)3-6(3)2+9(3)+1 = 27-54+27+1=1
 
 
punto minimo (3,1) por lo tanto es concava hacia arriba


 
Ahorase evalua en Y=1 
 
f''(1)=6(1)-12=6-12=-6
 
 
x=1 hay un punto máximo.
 
 
punto máximo evaluando x=1 en la función f(x) 
 
f(1)=(1)3-6(1)2+9(1)+1= 1-6+9+1 =5
 
 
(1,5) es cóncava haciaabajo.
 
 
Por último determinemos si hay punto de inflexión, esto se hace haciendo la segunda derivada igual a cero, esto es:
 
 
6x-12=0
 
 
esto s cierto si x=2;
 
  
 
f(2)=(2)3-6(2)2+9(2)+1 =8-24+18+1 =3
 
 
por lo tanto, el punto (2,3) es un punto de inflexión de f(x).









2.- Derivamos:
=n u=x ; n=3=1



Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0      Mínimo
f"(1) = − 6 < 0      Máximo
f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = −2
f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2
Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

3-. =n u=x ; n=4
=0...