n-cucas

Representaci´n de enlaces como n-cucas
o
Oyuki Hermosillo
August 15, 2011

2

Contenido
Introducci´n
o

1

1 Preliminares
7
1.1 Definiciones y resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Construcci´n de una n-cuca para un enlace dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
1.3 De n-cuca a k-cuca con k < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 13
2 Propiedades b´sicas de las 3-cucas
a
2.1 Resultados b´sicos . . . . . . . . . . . . . . .
a
2.2 Teorema principal de 3-cucas . . . . . . . . .
2.3 Codificaci´n de una 3-cucas como una sexteta
o
2.4 Grupo fundamental de una 3-cuca . . . . . .

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17
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34

3 Principales resultados sobre 3-cucas
3.1 Presentaci´n en arcos para 3-cucas . . . . . . . . . . . .
o
3.2 Aplanamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Gr´fica de vecindades de las ´rbitas de una3-cuca dada
a
o
3.5 Movidas de 3-cuca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Movida 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Movida 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Movida 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Movida 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 3-cucas Horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Madejasy el par´ntesis de Kauffman para 3-cucas . . .
e

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4 n-cucas, para n ≥ 4

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Bibliograf´
ıa

87

4

´
INTRODUCCION

Introducci´n
o
La teor´ de nudos es de las ramas m´snuevas de la matem´tica, tan nueva que se estudia de
ıa
a
a
manera formal s´lo a partir del siglo XX.
o
Es incre´
ıble que algo como los nudos, que ha estado presente durante toda la historia del
hombre no haya ocupado su mente m´s que de forma art´
a
ıstica o totalmente pr´ctica (´til). Pero
a
u
una vez abierta la puerta de la matem´tica de los nudos fue dif´ detener la imaginaci´n yel
a
ıcil
o
hambre de conocimiento de los matem´ticos, tanto que hoy en d´ algunos de los problemas
a
ıa
m´s interesantes son sobre teor´ de los nudos.
a
ıa
Unas de las preguntas que m´s se obsesiona en hacer el matem´tico son: ¿Cu´ntos hay? y
a
a
a
¿C´mo son todos los que hay? Estas preguntas tambi´n se aplican a los nudos. Cu´ntos hay
o
e
a
es f´cil de responder: Hay unainfinidad.
a
La segunda pregunta ha mantenido ocupados a los matem´ticos-top´logos-nud´logos que los
a
o
o
estudian a veces desde un punto de vista geom´trico, otras topol´gico, combinatorio o algebraico.
e
o
Ya se han inventado algunas formas de distinguir nudos, pero a´n no hay un m´todo que distinga
u
e
efectivamente a dos nudos. Todav´ no se sabe diferenciar dos nudos cualesquiera, pero s´se
ıa
ı
han clasificado algunas familias de nudos, por ejemplo, los llamados enlaces racionales a los
que puede asoci´rseles un n´mero racional sin ambig¨edad.
a
u
u
En el libro “Calidoscopios y 3-Variedades” J. M. Montesinos construye el espacio lente
L(5, 2) como la cubierta doble ramificada de la esfera S 3 .
En seguida daremos una prueba alternativa, tal vez m´s intuitiva.
a...