N Mero De Oro O N Mero Ureo

Número de oro o número áureo
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
Lalongitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:

Siendo el valor del número áureo φ el cociente:  Surge alplantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir lalongitud del segmento mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si  entonces la ecuación queda:

La solución positiva dela ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación a/b.

Propiedades y representaciones
Ángulo de oro
 razón número áureo
Propiedades aritméticas
 es el único númeroreal positivo tal que:

φ posee además las siguientes propiedades:



Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número,establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potenciasanteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma:
,
donde  es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anteriores ,  y .
Pero podemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
. Aquí , , ,  y .
Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

Engeneral:


En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la...