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INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL
3. SEMESTRE GRUPO B
ALGEBRA LINEAL
UNIDAD 1
DOCENTE. Arq. Karina Ruiz Alcocer.
Integrantes
España Trejo Ángela
Peraza Jiménez Wilfrido Rafael
Contenido
1.1 Definición de los números Complejos. 2
1.2 Operaciones fundamentales con números Complejos. 4
1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un númerocomplejo. 6
1.4 Forma polar y exponencial de un número Complejo. 7
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 10
1.6 Ecuaciones polinómicas. 11
18/08/2015
1.1 Definición y origen de los números complejos.
Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo ala definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).
Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces delos polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.
1.2 Operaciones Fundamentales Con Números Complejos
Operaciones básicas con números complejos
La naturaleza de un número complejo contiene los números reales extendidos que resulten necesarios para resolver un problema que sería difícil de resolver utilizando sólo los números reales. Existen una gran variedadde operaciones que pueden realizarse con los números complejos. La suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos.
Suma: La operación de sumar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:
(x + yi) + (c + di) = (x + c) + (y + d)i
Esto es, es posible observar que las partes correspondientes de los númerosreales se suman juntos y que se hace lo mismo con la parte imaginaria.
Examinemos un ejemplo para entender la operación más plenamente:Imaginemos que debemos expresar (1 + 8i) + (4 + 5i) en forma compleja.
Entonces, sumando la parte real y la parte imaginaria por separado, obtenemos
(1 + 4) + (8 + 5) i
= 5 + 13i
Resta:La operación de restar dos números complejos x + yi y c + di puede expresarsecomo:
(x + yi) - (c + di) = (x + c) - (y + d)i
Veamos un ejemplo de la resta de dos números complejos:
Imaginemos que debemos expresar (1+ 8i) - (−4 - 5i) en forma compleja.
Entonces, restando la parte real y la parte imaginaria separadamente, obtenemos
= (1 - 4) - (8 - 5)i
= −3 – 3i
Multiplicación: La operación de Multiplicar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:
(x + y i) (c+ d i) = (x c - y d) + (x + d yc) i
Sin embargo, esta multiplicación puede realizarse aplicando las propiedades básicas de la Multiplicación de los Números Reales, y recordando la regla básica de los números complejos, esto es, i2 = −1.
Veamos un ejemplo:
Imaginemos que debemos expresar (2 + 3i) (2 - 2i), en forma compleja.
Usando la propiedad distributiva, obtenemos
= (2 + 3i) (2 - 2i) = (2 +3i) 2 + (2 + 3i) (- 2i)
= 4 + 6i – 4i - 6i2
Agrupando los mismos términos y aplicando la propiedad i2 = −1 obtenemos,
= 4 + 6i – 4i + 6
= 10 + 2i
División:La operación de Dividir dos números complejos (8 + 4 i) y (1 - i) puede expresarse como:
(8 + 4 i) / (1 - i)
En primer lugar, multiplicando el numerador y el denominador con el conjugado del denominador de la expresión anterior, obtenemos
[(8 +4 i) (1 + i)]
Agrupando y multiplicando los términos semejantes,
[(8 + 4 i) (1 + i)] / [(1 - i) (1 + i)] =
[8 + 4 i + 8 i + 4 i 2] / [1 - i + i - i 2]
= (4 + 12 i) / (2)
= 2 + 6 i
1.3 Potencias de "i", modulo o valor absoluto.
Sea z=(a +bi) un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z, al número real dado pory lo denotaremos por lzI. El módulo se interpreta como la...
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