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Febrero

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA
Taller para Precálculo

Prof. Kattia Rodríguez

Objetivos:
■ Recordar los subconjuntos que forman el conjunto de los números reales para identificar
distintos números.
■ Aplicar las propiedades de la suma y el producto, las leyes de potencias y delos radicales
para resolver operaciones con números reales.

1. Números reales
Es importante repasar algunos aspectos del conjunto de los números reales que son fundamentales para un mejor desempeño en el curso de Precálculo MA0001 y en Cálculo MA1001,
en temas como factorización, fracciones parciales, límites, derivadas.
Hoy en día muchos objetos y situaciones a nuestro alrededor se relacionancon los números
y en ocasiones no nos damos cuenta de su presencia.
Analiza los siguientes ejemplos: un despertador sonando, un teléfono, el estado de una cuenta bancaria, el precio de un artículo, la secuencia de una rutina en el gimnasio, la velocidad
de un automóvil.
Vuelve a leer los ejemplos anteriores e identifica algunos números reales en dichas situaciones.
El ejercicio anterior nos permiteconjeturar acerca de la existencia de distintos números que
pertenecen a ciertos conjuntos numéricos estudiados en la educación secundaria como los
números naturales, enteros, racionales, irracionales y los números reales.
Conviene que recordemos que un conjunto es una colección de objetos donde sus objetos
son los elementos del conjunto. Para denotar un conjunto se utiliza una letra mayúscula yel
símbolo utilizado para indicar que un elemento está en el conjunto es ∈ o bien si no pertenece escribe ∉. Presentemos dichos conjuntos de números:
■ Naturales, N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
■ Enteros, Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}; donde N ⊂ Z.

Números reales

K Rodríguez 2

a
donde a, b ∈ Z , b = 0 , es decir un número racional lo podemos exb
presar como el cociente de dos enteros.La expresión decimal de todo número racional es
a
periodica al realizar la división . Además, Z ⊂ Q.
b
■ Racionales, Q =

■ Irracionales: formado por todos los números que no poseen una expansión decimal periodica, I = ..., −e, ..., − 3, ..., 2, ..., π, ...
Así el conjunto de los números reales está formado por la unión ∪ del conjunto de los
racionales e irracionales, simbólicamente escribimos: R =Q ∪ I. El conjunto de los números
reales es un conjunto ordenado, completo, infinito y denso.
Muchas veces al leer un documento escrito en lenguaje matemático encontramos números,
letras del alfabeto como a, b, c, x, y, z para denotar números reales arbitrarios o desconocidos, así como símbolos que nos permiten entender cuestiones matemáticas, por eso estudiemos algunos de esos símbolos.

Hazclic aquí y observa

Ejercicio 1.
1. Completa el cuadro 1 escribiendo una X en la casilla o casillas que contiene el conjunto
numérico al que pertenece el número dado.

Número
−50
6

N

Z

2 5
log 10
24, 5
2π
−20
− 9
Cuadro 1.

Q

I

R

Números reales

K Rodríguez 3

2. Determine si la proposición dada es verdadera o falsa, justifica la respuesta.
a. −5π ∉ I
b. π ∈ R
c. 7, 5 ∉ Z
d. − 3 ∈ Q
e. (−175÷ 3) ∈ Q
f. (−24 · −4) ∉ N

2. Operaciones con números reales
Para estudiar algunos ejemplos de operaciones con números reales es necesario repasar ciertas propiedades de la operación suma y multiplicación.

Haz clic aquí y observa
Además, consideremos otras propiedades que son importantes tanto en operaciones con
números reales como al operar con expresiones algebraicas.
Sean a, b, c, d ∈ R t alque :
1. b − a = b + (−a)
1
2. a ÷ b = a · , si b = 0
b
3. − (a) = −a
4. (−a) b = − (ab)
5. (−a) (−b) = ab
6.

a c
ac
· =
, si b = 0 ∧ d = 0
b d
bd

7.

a
c
ad
÷ =
, si b = 0 , d = 0 ∧ c = 0
b d
bc

1

8.

a
c
ad + bc
+ =
, si b = 0 ∧ d = 0
b d
bd

Pasos para homogenizar, haz clic y observa .

Al resolver operaciones combinadas en el conjunto de los números reales tengamos presente
el orden en...