P Ond

Capítulo 13
Ondas

1

Movimiento oscilatorio
El movimiento armónico simple ocurre cuando la fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento con respecto del equilibrio
x:
F = −kx
k se denomina constante de fuerza. En el caso de un péndulo, es igual a
mg/l.
El desplazamiento en el movimiento armónico simple viene dado por:
x(t) = A sen(ωt + ϕ)
ω es la frecuencia angular de la oscilación
ω=k
m

ω se mide en rad/s. El radián (rad) es adimensional.

Parámetros del m.a.s.
A es la amplitud y ϕ la fase inicial del movimiento. Se obtienen a partir
de la posición y la velocidad de la partícula en el instante inicial.
En vez de la frecuencia angular, también se utiliza la frecuencia ν:
ν=

ω
2π

El período es inversamente proporcional a la frecuencia:
T =

1
2π
=
ω
ν

ν se mide enciclos/segundo o hercios (Hz), y el período en segundos.

Energía del m.a.s.
En el m.a.s. se produce un continuo intercambio de energía potencial a
cinética, y viceversa, con la energía total permaneciendo constante, igual
a:
2
E = 12 kA2 = 21 mA2 ω 2 = 12 mvmax
En el punto de equilibrio, toda la energía es cinética y la velocidad es
máxima, vmax .

Características de las ondas
La velocidad depropagación de las ondas en una cuerda, sujeta a una
tensión Tc y con una densidad lineal ρl , está dada por:
v=

Tc
ρl

La longitud de onda λ es igual al período T multiplicado por la velocidad de propagación de la onda en el medio de transmisión:
λ = Tv
La ecuación de una onda armónica que se desplaza en la dirección y y se
propaga en la x es:
y(x, t) = A sen ωt −

2πx
λ

El signo menos indica que sedesplaza en el sentido positivo del eje X.
Si una onda atraviesa distintos medios, la frecuencia angular permanece
constante.

Energía de una onda
La energía de una onda en una cuerda vale:
E = 12 A2 ω 2 lρl
La potencia que transmite la onda es:
P =

E
= 12 A2 ω 2 vρl
t

La potencia transmitida coincide con la generada por la fuente.
La magnitud vρl se denomina impedancia Z de la cuerda.

Ondasestacionarias
Una onda en una cuerda con sus dos extremos fijos viene descrita por la
ecuación:
2πx
y(x, t) = −2A cos(wt) sen
λ
Si L es la longitud de la cuerda, las posibles longitudes de onda son:
λ=2

L
n

para n = 1, 2, 3, . . .

Las frecuencias correspondientes a las anteriores λ son las frecuencias
propias de una cuerda con sus dos extremos fijos, y vienen dadas por:
ω=

πvn
L

El modofundamental corresponde a la frecuencia más baja y a la longitud
de onda más larga.
Los nodos son puntos con interferencia destructiva que no vibran en absoluto. n es igual al número de nodos internos más uno.

Problema 13.1
Un péndulo de 90 cm de longitud se desplaza 2 cm de su
posición de equilibrio y se deja oscilar libremente a partir
de t = 0. Encuentra la ecuación de la trayectoria. Repite elcálculo para el caso en que al péndulo se le imprima una
velocidad inicial de 0.05 m/s en vez de desplazársele.

Problema 13.2
Tenemos un muelle que se estira 5 cm cuando se le cuelga
un peso de 0.25 kg. Calcula:
(a) la constante de fuerza del mismo,
(b) la frecuencia que tendría cuando oscilara con la masa anterior,
(c) el período.

Problema 13.3
Una partícula de 0.1 kg de masa oscila con unafrecuencia
de 100 Hz y una amplitud de 1 mm. Halla la velocidad
máxima y la energía del movimiento.

Problema 13.4
La posición de una partícula de 0.2 kg de masa viene dada
por:
x(t) = 5 cos(4t − π) m.
Determina:
(a) la posición de la partícula en t = 1 s,
(b) la velocidad en t = 0,
(c) la aceleración en t = 0,
(d) la fuerza recuperadora,
(e) la amplitud de la oscilación,
(f) el período,
(g) la energíadel movimiento.

Problema 13.5
Una partícula de 0.4 kg efectúa un movimiento armónico
simple con una frecuencia de 10 Hz y una energía de 80
J. Calcula:
(a) la amplitud de la oscilación,
(b) la velocidad máxima,
(c) la constante de fuerza recuperadora.

Problema 13.6
La posición de una partícula de 0.1 kg de masa viene dada
por x = A sen(10t) m. En el instante t = 1 s, la velocidad
de la...