R-ésimo termino

Para calcular el r-ésimo término se hace uso del factorial de un número, el cual se describe a continuación:
* Factorial (n): Con estenombre se conoce a la forma abreviada de escribir los factores sucesivos de números positivos y se representa por n!
n! = 1 · 2 · 3 · 4 … no bien
n! = n · (n-1) (n-2)… 3 · 2 · 1
Por definición 0! = 1
(r-1)!= 1 · 2 · 3 … (r-1)
* El r- ésimo término de la Fórmuladel Binomio: Puede obtenerse una regla fácil para calcular, sin desarrollar, el término de orden “r” en la expansión binomial.
Por Ejemplo,Observemos en el Teorema del Binomio, un número cualquiera “5” (r=5)
* El numerador del coeficiente : Se forma con la multiplicaciónsucesiva de n(n-1)(n-2)(n-3) y cuenta con 4 factores , es decir, (r-1) factores.
* El denominador del coeficiente : es (r-1)!, o bien 4! = 4 · 3· 2 ·1.
* El exponente de a : Es n-4 o bien n-(r-1).
* El exponente de b: Es 4 o bien (r-1)
* El grado del término : Es n
Por lotanto :
( r – 1 )!
r-ésimo término = n(n-1)(n-2)… hasta (r-1) factores a n- (r-1) b r-1
* Obsérvese que elcoeficiente numérico, tiene el mismo número de factores (r - 1) tanto en el numerador como en el denominador.
Ejemplo:
* Encuentre el 6º términode (a+1/a)5
a 8-5 (1/5)5= 56 a3 (1/5 a5) = 56/ a2
6º término = 8x7x6x5x4

n= 8
1x2x3x4x5
r= 6
r-1 = 5